第四节 反常积分 积分区间有限 常义积分 被积函数有界 推广 反常积分（广义积分） 一、无穷限的反常积分 二、无界函数的反常积分
二、无界函数的反常积分 第四节 常义积分 积分区间有限 被积函数有界 推广 一、无穷限的反常积分 反常积分 (广义积分) 反常积分
Ay=(x)f(x)A=dxAx=bx=aobaxy(0,1)y=e-x0bx
( )d b a A f x x A y = e -x y O b x (0,1)
无穷限的广义积分一求由曲线y=ex,y轴及x 轴所围成开口例 1 曲边梯形的面积解这是一个开口曲边梯形，为求其面积，任取yb E[0,+ )，在有限区间[o,b] 上，以曲线y=e-x(0,1)为曲边的曲边梯形面积为y=e-xe-xdx =00eb0x
一 、无穷限的广义积分 例 1 求由曲线 y = e -x，y 轴及 x 轴所围成开口 曲边梯形的面积. 解 这是一个开口曲边梯形，为求其面积，任取 b [0, + )，在有限区间 [0, b] 上， 以曲线 y = e - x 为曲边的曲边梯形面积为 . e 1 e d e 1 0 0 b b x b x x b y = e -x y O x (0,1)
当b→+8时，阴影部分曲边梯形面积的极限就是开口曲边梯形面积，即himA = lime-*dx-b-→+oJaV(0,1)y=exb0x
A x b a x b lim e d 1. e 1 lim 1 b b y = e -x y O b x (0,1) 即 当 b + 时，阴影部分曲边梯形面积的极限就 是开口曲边梯形面积
定义1设函数f(x)在[a,+o)上连续，取实数b>，如果极限limf(x)dxb+oa存在，则称此极限为函数,f(x)在无穷区间[a,+oo)上的广义积分，记作（°f(x)dx，即f(x)dx = limf(x)dx.b+8Ja这时也称广义积分收敛，否则称广义积分发散
定 义 1 设 函 数 f (x ) 在 [a , + )上 连 续 ，取实 数 b > a，如果极限 b b a lim f (x)dx 则称此极限为函数 f (x) 在无穷区间[a, + ) 上的广义积分， ( )d lim ( )d . b a b a f x x f x x 这时也称广义积分收敛， ( )d , a 记作 f x x 即 存在， 否则称广义积分发散