沈阳师范大学：《高等代数》课程授课教案 Advance Algebra（二）

教学时数2学时85.1二次型及其矩阵表示1.了解二次型的历史线上预习目标2.了解二次型的定义3.了解二次型的矩阵定义摩课教涤1.掌握二次型及二次型矩阵表示；教学目标2.熟练掌握替换前后二次型矩阵的关系；3.提高学生解决问题的能力。1．理解二次型与矩阵是“抽象与具体”的关系的哲学思想思政目标2.通过概念类比理解事物普遍联系的哲学原理3.体验数学的”对称美”4.二次型的数学史介绍激励学生勇于探索二次型及二次型矩阵表示。教学重点教学难点替换前后二次型矩阵的关系。线上线下混合式教学（0.8学时线上线下混合式教学教学方法教学手段+1.2学时）（线上学银在线预习微课+线上（0.8学时）：线上自制知识点总结微课+(1)预习学银在线视频课线上自制习题讲解微课+（2）线上随堂练习或线上预习测线下多媒体教学）试线下（1.4学时）：讨论式（师生讨论）引导式、示范启发式黄影2

2 §5.1 二次型及其矩阵表示 教学时数 2 学时 线 上 预 习 目标 1.了解二次型的历史 2.了解二次型的定义 3.了解二次型的矩阵定义 教学目标 1.掌握二次型及二次型矩阵表示； 2.熟练掌握替换前后二次型矩阵的关系； 3.提高学生解决问题的能力。 思政目标 1. 理解二次型与矩阵是“抽象与具体”的关系的哲学思想 2. 通过概念类比理解事物普遍联系的哲学原理 3. 体验数学的”对称美” 4. 二次型的数学史介绍激励学生勇于探索 教学重点 二次型及二次型矩阵表示。 教学难点 替换前后二次型矩阵的关系。 教学方法 线上线下混合式教学（0.8 学时 +1.2 学时） 线上（0.8 学时）: （1） 预习学银在线视频课 （2）线上随堂练习或线上预习测 试 线下（1.4 学时）：讨论式（师生讨 论）引导式、示范启发式 教学手段 线上线下混合式教学 （线上学银在线预习微课+ 线上自制知识点总结微课+ 线上自制习题讲解微课+ 线下多媒体教学）

教学过程设计意图教师：（线上教学准备）1.学生带着1.通过在开学前建立学生微信群，将所有学生加入学习通，以方便本学期问题学习视第一次课开展线上教学。频课，使学2.学习通“通知”发布学生预习的“学银在线视频课”的内容及预习后回线答的问题。生把握重上点，有的放2.为学生编写、设计、发布学习通-活动-随堂测验的预习测验题。矢，提高预教习效果。学2. 检验预习效果过2观摩识程3、4.通过视频课预习，提前了解本节课内容，加深知识点K理解。学生：（线上学习内容）3.学生学习通预习学银在线本节课的视频课（24分左右），并在学习通讨论区提问不懂的地方，师生共同讨论4.学生学习通-活动-随堂练习，完成本节课预习测验题（12分左右）5、6.通过预教师：（线上教学总结）习测验题的5.通过学习通后台的“统计“了解学生视频课任务点完成情况，督促未扇形统计图，了解学完成同学完成，确保任务点完成率达百分之百。生的知识点6.借助“学习通随堂测验“的”成绩统计“，了解学生知识点掌握情况。掌握情况，使线下教学更有针对性。黄影3

3 教学过程 设计意图 线 上 教 学 过 程 教师：（线上教学准备） 1.通过在开学前建立学生微信群，将所有学生加入学习通，以方便本学期 第一次课开展线上教学。 2.学习通“通知”发布学生预习的“学银在线视频课”的内容及预习后回 答的问题。 2.为学生编写、设计、发布学习通-活动-随堂测验的预习测验题。 学生：（线上学习内容） 3. 学生学习通预习学银在线本节课的视频课（24 分左右）， 并在学习通讨论区提问不懂的地方，师生共同讨论 4.学生学习通-活动-随堂练习，完成本节课预习测验题(12 分左右) 教师：（线上教学总结） 5.通过学习通后台的“统计“了解学生视频课任务点完成情况，督促未 完成同学完成，确保任务点完成率达百分之百。 6.借助“学习通随堂测验“的”成绩统计“，了解学生知识点掌握情况。 1.学生带着 问题学习视 频课，使学 生 把 握 重 点，有的放 矢，提高预 习效果。 2.检验预习 效果 3、4.通过视 频课预习， 提前了解本 节课内容， 加深知识点 理解。 5、6.通过预 习测验题的 扇 形 统 计 图，了解学 生的知识点 掌握情况， 使线下教学 更 有 针 对 性

提问学生：通过线上预习，有哪些收获？通过提问检1.二次型的定义线查学生预习2.二次型的矩阵定义效果下导入新联系解析几课何的知识，在解析几何中，中心与坐标原点重合的有心二次曲线引出新知，f=ax2+2bxy+cy2，(1)引起学生对入2观摩选择适当角度，逆时针旋转坐标轴二次型的学习兴趣。x= xcos0-y'sin 0y=x'cos+y'sin 0得到标准方程f'=ax""+cy?形如（1）的二次齐次多项式，不但在解析集合中出现，而且在数学的其他分支以及物理、力学中也常常出现，线一、二次型的定义下设P是一个数域，一个系数在数域P中的关于文字x，,x,的二讲次齐次多项式：此定义可以f(,,x)=a+2a2xx+..+2anx,+ax+.+2ax,+...+a.授由具体的齐(1)次二次多项新式引出，并称为数域P上的一个n元二次型，简称二次型，f(x,2，"",x）简记为引导学生根课据实例归纳f.出定义。注：如果P=C，就称式（1）为复二次型，若P=R，就称式（1）为实二次型。二、二次型的矩阵表示为对称矩阵，那么二次型式（1）设X=(x,X2,",x,),A=可以唯一地表示成：f(XX2,,x.)= (X)=XAX4

4 线 下 导 入 新 课 提问学生：通过线上预习，有哪些收获？ 1. 二次型的定义 2. 二次型的矩阵定义 在解析几何中，中心与坐标原点重合的有心二次曲线 2 2 f  ax  2bxycy , （1） 选择适当角度  ,逆时针旋转坐标轴                cos sin cos sin y x y x x y 得到标准方程 2 2 f   a  x  c  y  。 形如（1）的二次齐次多项式，不但在解析集合中出现，而且 在数学的其他分支以及物理、力学中也常常出现。 通过提问检 查学生预习 效果 联系解析几 何的知识， 引出新知， 引起学生对 二次型的学 习兴趣。 线 下 讲 授 新 课 一、 二次型的定义 设 P 是一个数域，一个系数在数域 P 中的关于文字 n x , , x 1  的二 次齐次多项式： 2 2 2 1 2 11 1 12 1 2 1 1 22 2 2 2 ( , , , ) 2 2 2 n n n n n nn n f x x x a x a x x a x x a x a x x a x          （1） 称为数域 P 上的一个 n 元二次型，简称二次型， 1 2 ( , , , ) n f x x x 简记为 f 。 注：如果 P  C ，就称式（1）为复二次型，若 P  R ，就称式（1）为 实二次型。 二、 二次型的矩阵表示 设 1 2 ( , , , ) n X  x x x ，  ij n n a  A  为对称矩阵，那么二次型式（1） 可以唯一地表示成： f x x x f ( , , , ) 1 2 n   X = X AX   此定义可以 由具体的齐 次二次多项 式引出，并 引导学生根 据实例归纳 出定义

称A为二次型式（1）的矩阵，即二次型式（1）的矩阵为：aua2..ana2a22..a2nA=：用矩阵的秩定义二次型aina2m...am线的秩体现”A的秩称为二次型式（1）的秩。事物普遍联下注：①二次型式（1）的矩阵A一定是对称矩阵，且A的主对角线上第系”的哲学思想k（k=1,2,"",n）个元素恰为二次型式（1）中x的系数，而A的第i行讲第j列元素和第j行第i列元素(i,j=1,2,,n,ij)都等于二次型式授（1)中x,x,系数的二分之一，因此二次型和它的矩阵是相互唯一确定的，新二次型的矩这也给出了求二次型矩阵的方法；阵体现数学课的”对称②若B是n级对称矩阵，使得二次型式(1)美”f(X,X2,",X.)=XAX=XBX,那么B=A;(k=1,2,.,n)③设C=(c）nn，如果Cu=auC,+C,=2a,(i,j=1,2,,n,i+])，那么一定有二次型与矩阵的关系f(X,x2,,x,)-X'AX = X'CX体现”抽象与具体”的这说明将二次型式（1）写成矩阵乘积的形式写法是不唯一的，但要注意哲学思想矩阵C可能不是对称矩阵，如果C不是对称矩阵，那么C就不是二次型式（1）的矩阵。例：f(x,x2x)=-3x+4x2-5x-7x2+2x+x2xX=(x,x2,x)令7-32-3-37A=B=+2n11S2那么有：f(x,2,x)= X'AX = X'BX = XCX此例强调由于A是对称矩阵，B,C不是对称矩阵，所以只有A是f(x,X2,x）的二次型的矩阵必须是对5

5 线 下 讲 授 新 课 称 A 为二次型式（1）的矩阵， 即二次型式（1）的矩阵为： 11 12 1 12 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a a a a              A A 的秩称为二次型式（1）的秩。 注：① 二次型式（1）的矩阵 A 一定是对称矩阵，且 A 的主对角线上第 k k n  1, 2, ,  个元素恰为二次型式（1）中 2 k x 的系数，而 A 的第 i 行 第 j 列元素和第 j 行第 i 列元素 i j n i j , 1, 2, , ,    都等于二次型式 （1）中 i j xx 系数的二分之一，因此二次型和它的矩阵是相互唯一确定的， 这也给出了求二次型矩阵的方法； ② 若 B 是 n 级 对 称 矩 阵 ， 使 得 二 次 型 式 （ 1 ） f x x x  1 2 , , , n    X AX X BX   ，那么 B A  ； ③ 设 ( )ij n n c C   ， 如 果 kk kk c a  k n 1, 2, ,  ， c c a i j n i j ij ji ij     2 , 1, 2, , ,   ，那么一定有： 1 2 ( , , , )= n f x x x X AX X CX    这说明将二次型式（1）写成矩阵乘积的形式写法是不唯一的，但要注意 矩阵 C 可能不是对称矩阵， 如果 C 不是对称矩阵， 那么 C 就不是二次 型式（1）的矩阵。 例： 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 f x x x x x x x x x x x x ( , , ) 3 4 5 7 2        令  x x x 1 2 3 , ,   X  ， 7 3 1 2 3 3 1 3 2 1 7 1 4 , 4 4 1 , 5 4 3 2 2 1 2 5 3 2 5 1 1 5 2                                                         A B C ， 那么有： 1 2 3 f x x x ( , , )  X AX = X BX = X CX  由于 A 是对称矩阵，BC, 不是对称矩阵，所以只有 A 是 1 2 3 f x x x ( , , ) 的 用矩阵的秩 定义二次型 的秩体现” 事物普遍联 系”的哲学 思想 二次型的矩 阵体现数学 的 ” 对 称 美” 二次型与 矩阵的关系 体现”抽象 与具体”的 哲学思想 此例强调 二次型的矩 阵必须是对

称矩阵，当矩阵，而A的主对角线上的第1、2、3个元素分别是f(x,2,）中x所给矩阵不是对称矩阵x、x的系数，A的第1行第2列元素与第2行第1列元素都等于时，如何化成对称矩f(x,x,)中x系数的二分之一，A的第1行第3列元素与第3行阵。水第1列元素都等于f(x,2,)中x系数的二分之一，A的第2行第摩课教案3列元素与第3行第2列元素都等于f(x,,x）中x,x,系数的二分之一，利用这一点就可求出(,2,)的矩阵。三、线性替换设x",x,；J，,y,是两组文字，系数在数域P中的一组关系式X,=Ci++Ci2J22+**+CnnX2=C2Ji+C22J22+..+C2nJ.(2)Xn=Cn+Cn2Y22+..+称为由x，…,x到，，y,的一个线性替换，或简称线性替换。如果线性替换式（2）的系数行列式：C1...CinC12C22...C2mn￥0:CnCn2.Cm那么线性替换式（2）就称为非退化的。设X=(",x,),Y=(y,"y,),C=(c,)m则线性替换式(2)就可写成矩阵形式：X=CY设X=CY是非退化线性替换，那么二次型式（1）可写成：f(X)= X'AX = Y'(C'AC)Y = Y'BY = g(Y)其中B=C'AC，这就是说非退化线性替换将二次型变成二次型，且如强调非退果A是二次型F(X)=X'AX的矩阵，那么B=C'AC就是二次型化线性替换是用非退化g(Y)=YBY的矩阵。矩阵定义的。注：线性替换式（2）也称为数域P上的线性替换。6

6 矩阵，而 A 的主对角线上的第 1、2、3 个元素分别是 1 2 3 f x x x ( , , ) 中 2 1 x 、 2 2 x 、 2 3 x 的系数， A 的第 1 行第 2 列元素与第 2 行第 1 列元素都等于 1 2 3 f x x x ( , , ) 中 1 2 xx 系数的二分之一， A 的第 1 行第 3 列元素与第 3 行 第 1 列元素都等于 1 2 3 f x x x ( , , ) 中 1 3 xx 系数的二分之一， A 的第 2 行第 3 列元素与第 3 行第 2 列元素都等于 1 2 3 f x x x ( , , ) 中 2 3 x x 系数的二分之 一，利用这一点就可求出 1 2 3 f x x x ( , , ) 的矩阵。 三、线性替换 设 1 , , n x x ； 1 , , n y y 是两组文字，系数在数域 P 中的一组关系式 1 11 1 12 22 1 2 21 1 22 22 2 1 1 2 22 n n n n n n n nn n x c y c y c y x c y c y c y x c y c y c y                    （2） 称为由 1 , , n x x 到 1 , , n y y 的一个线性替换，或简称线性替换。如果线 性替换式（2）的系数行列式： 11 12 1 21 22 2 1 2 0 n n n n nn c c c c c c c c c  那么线性替换式（2）就称为非退化的。 设 1 1 ( , , ) , ( , , ) , ( ) n n ij n n x x y y c  X Y C      ，则线性替换式（2） 就可写成矩阵形式： X = CY 设 X = CY 是非退化线性替换，那么二次型式（1）可写成： f g  X X AX Y C AC Y Y BY Y          ( )   其中 B C AC   ，这就是说非退化线性替换将二次型变成二次型，且如 果 A 是二次型 f  X X AX    的矩阵，那么 B C AC   就是二次型 g Y Y BY  =  的矩阵。 注：线性替换式（2）也称为数域 P 上的线性替换。 称矩阵，当 所给矩阵不 是对称矩阵 时，如何化 成对称矩 阵。 强调非退 化线性替换 是用非退化 矩阵定义 的