沈阳师范大学：《高等数学》课程教学课件（讲稿）第4章 不定积分 4.3 定积分的换元积分法与分部积分法

5.3 定积分的换元积分法 与分部积分法 一、定积分的换元积分法 二、定积分的分部积分法 三、小结

三、小结 二、定积分的分部积分法 一 、定积分的换元积分法 5.3 定积分的换元积分法 与分部积分法

定积分的换元积分法一定理假设(1）f(x)在[a,b]上连续;(2）函数x=(t)在[α,β]上是单值的且有连续导数；(3）当t在区间[α,β]上变化时，x=β(t)的值在[a,b]上变化， 且β(α)=a、(β)=b,则 有[" f(x)dx = f" f[p(t)lp'(t)dt.该公式叫做定积分换元公式沈阳师范大学

一 、定积分的换元积分法 定理 （3）当t在区间[,  ]上变化时， x  (t)的值 在[a,b]上变化，且( )  a、( )  b， 则 有 f x dx f t t dt b a      ( ) [( )] ( ) . 该公式叫做定积分换元公式．

应用换元公式时应注意(1）用x=Φ(t)把变量x换成新变量t时，积分限也相应的改变(2)求出,f[p(t)lp'(t)的一个原函数Φ(t)后，不必象计算不定积分那样再要把Φ(t)变换成原变量x的函数，而只要把新变量t的上、下限分别代入Φ(t)然后相减就行了

应用换元公式时应注意: （1） （2） 用 x  (t)把变量x换成新变量t时，积分限也 相应的改变

计算例12x·erdxJo解设x2=t.当x=0时，t=0；当x=1时，t=1.则

计算 . 1 2 0 2 x x e dx  1 2 1 2 2 0 0 2 x x x e dx  e dx   1 0 t  e dt  1 0 t  e  e 1 例1

练习125计算cos' x sin xdx.Jo解令dt = -sin xdx.t = cosx,元t=0,x=0=t=1,x=2元25cos' x sinxdxJo

计算 cos sin . 2 0 5   x xdx 解 令 t  cos x, 2  x   t  0, x  0 t  1,   2 0 5 cos x sin xdx    0 1 5 t dt 1 0 6 6 t  . 6 1  dt  sin xdx, 练习1