S5.3 唯一性2
§5.3 唯一性 2
第五章二次型S5.3唯一性例1（法1）用配方法化f=4x2+3x,2+3x2+2xx为标准形解: f= 4x,2+3x22+3x32+2x2X3=4x+3(x2+号x2X +x3=4x +3(x, +#x) +号x?yi = Xi,X令 2=X2+x3，则f=4y2+3y22+"3J'3 = X3,0010yiX101y1X1注：11/300-1/3y2X2y2X2二U三0010y301X3LX3y3Pyx=
例1（法1） 用配方法化 f = 4x1 2+3x2 2+3x3 2+2x2x3为标准形. 解: f = 4x1 2+3x2 2+3x3 2+2x2x3 4 3( ) 2 3 2 3 3 2 2 2 2 1 = x + x + x x + x 2 3 3 2 8 3 3 1 2 2 1 =4x +3(x + x ) + x 令 则 f = 4y1 2+3y2 2+ −y3 2 . 8 3 x1 x2 x3 = 1 0 0 0 1 1/3 0 0 1 y1 y2 y3 注: . = = + = 1 1 1 2 2 3 3 3 3 y x y x x y x , , , x1 x2 x3 = 1 0 0 0 1 −1/3 0 0 1 y1 y2 y3 x = Py 第五章 二次型 §5.3 唯一性
第五章二次型$5.3唯一性例1（法2）用配方法化f=4x，2+3x，2+3x2+2xx，为标准形解： f= 4x,2+3x,2+3xg2+2xzx3=4x +3(x2 +3x2X, +x3)=4x +3(x, +#x,) +号x3f=4y12+3y22+号3[Z1 = 2X1,Z2 = V3x2+ V1/3x3,贝则 f= z? + z2 + z32V8/3x3,/Z300002~1/2(Z1(x1x1Z)注:V3V1/3V1/3-V1/2400Z2X2X222三V3/8V8/300007323X3X3-x=
解: f = 4x1 2+3x2 2+3x3 2+2x2x3 4 3( ) 2 3 2 3 3 2 2 2 2 1 = x + x + x x + x 2 3 3 2 8 3 3 1 2 2 1 =4x +3(x + x ) + x 令 则 f = z1 2 + z2 2 + z3 2 . x1 x2 x3 = z1 z2 z3 注: . x1 x2 x3 = z1 z2 z3 x = Cz z1 = 2x1 , z2 = 3x2+ 1/3x3 , − z3 = 8/3x3 , 2 0 0 0 3 1/3 0 0 8/3 1/2 0 0 0 1/3 −1/24 0 0 3/8 f = 4y1 2+3y2 2+ −y3 2 . 8 3 第五章 二次型 §5.3 唯一性 例1（法2） 用配方法化 f = 4x1 2+3x2 2+3x3 2+2x2x3为标准形
第五章二次型$5.3唯一性思考可见，通过不同的线性替换可以得到二次型不同的标准形用什么方法可以将不同的标准形统一为同一个呢？在上述例题中看到，总可以通过线性替换，将标准形平方项的系数化为正1或负1，我们把这样的标准形称为规范形
第五章 二次型 §5.3 唯一性 思考 可见，通过不同的线性替换可以得到二次型不同的标准形， 用什么方法可以将不同的标准形统一为同一个呢？在上述例题 中看到，总可以通过线性替换，将标准形平方项的系数化为正1 或负1，我们把这样的标准形称为规范形
S5.3唯一性第五章二次型一、实、复二次型的规范形的定义1.复二次型规范形的定义设f(x1,x2,"，xn)是一个复二次型，经过一适当的复数域上的非退化线性替换后，f(x1,x2,",xn)变成标准形：(1)diyi +d2y2 + .. +dryi,d; + 0,i = 1,2,...,r.r是f(x1,x2,,xn)的秩，再作复数域上一非退化线性替换：1Y1 :21式（1）就变成di(2)zi+z2+..+z式（2）就称为复二次型f(x1,x2,,xn)的Yr=Zrdr规范形，它完全被复二次型f(x1,x2,xn）Yr+1 = Zr+1的秩所确定。6n=Zn
6 第五章 二次型 §5.3 唯一性 一、实、复二次型的规范形的定义 1.复二次型规范形的定义 设𝐟(𝒙𝟏, 𝒙𝟐, ⋯ , 𝒙𝒏)是一个复二次型，经过一适当的复数域上的 非退化线性替换后，𝐟(𝒙𝟏, 𝒙𝟐, ⋯ , 𝒙𝒏)变成标准形： 𝒅𝟏𝒚𝟏 𝟐 + 𝒅𝟐𝒚𝟐 𝟐 + ⋯ + 𝒅𝒓𝒚𝒓 𝟐 , 𝒅𝒊 ≠ 𝟎, 𝐢 = 𝟏, 𝟐, ⋯ , 𝐫. （1） 𝐫是𝐟(𝒙𝟏, 𝒙𝟐, ⋯ , 𝒙𝒏)的秩，再作复数域上一非退化线性替换： 𝒚𝟏 = 𝟏 𝒅𝟏 𝒛𝟏 ⋯ ⋯ 𝒚𝒓 = 𝟏 𝒅𝒓 𝒛𝒓 𝒚𝒓+𝟏 = 𝒛𝒓+𝟏 ⋯ ⋯ 𝒚𝒏 = 𝒛𝒏 式（1）就变成 𝒛𝟏 𝟐 + 𝒛𝟐 𝟐 + ⋯ + 𝒛𝒓 𝟐 （2） 式（2）就称为复二次型𝐟(𝒙𝟏, 𝒙𝟐, ⋯ , 𝒙𝒏)的 规范形，它完全被复二次型𝐟(𝒙𝟏, 𝒙𝟐, ⋯ , 𝒙𝒏) 的秩所确定