4. 2积分法(2)一第二换元积分法
—第二换元积分法 4.2 积 分 法(2)
第二换元积分法基本思路第一类换元法解决的问题[ f [p(x)]p'(x)dx = [ f(u)duu=(x)难求易求[f(u)du 难求,若所求积分[ f[p(x)]p(x)dx 易求,则得第二类换元积分法
基本思路 第二换元积分法 第一类换元法解决的问题 难求 易求 f [(x)](x)dx f (u)du u (x) 若所求积分 f [(x)](x)dx 易求, 则得第二类换元积分法 . f (u)du 难求
定理.设x=の(t)是单调可导函数，且(t)±0,f[(t)lβ't）具有原函数，则有换元公式J f(x)dx = J f [o(t)]p(t)dtt=p-'(x)其中 t=β-l(x)是x=(t)的反函数,Jf(x)dx步骤：换元x=p(t)= J f[o(t)]p'(t)d积分= F(t)+C回代t=βp-l(x)= F[β- (x)] +C
定理 . 设 x (t) 是单调可导函数 , 且 '(t) 0, f [(t)] '(t) 具有原函数 , 1 ( ) ( )d [ ( )] '( )d t x f x x f t t t 1 t (x) x (t) . 其中 是 的反函数 则有换元公式 步骤： f (x)dx f [(t)] '(t)dt 换元 x (t) F(t) C 1 F[ (x)] C 积分 回代 1 t (x)
口根式代换口倒代换口三角代换
p根式代换 p倒代换 p三角代换
J f(x)dx= [ f[p(t)lp'(t)dt=F(t)+C=F[β-l(x)]+C1.1求dx.例题1+/x+2解设t=x+2，即x+2=t3，则dx=3t2dt,11+1-dt = dx =dt1+/x+21+t+1= 3 [(t - 1)ldt1+t3(t -1)? +3ln | t +1| +C213(3/x + 2 -1)2 + 3ln /3/x + 2 + 1 /+CJ1+/x+2dx2
例 题 一 2 1 1 3 1 t dt t f x dx f t t dt F t C F x C x t ( ) [ ( )] ( ) ( ) [ ( )] 1 ( )