沈阳师范大学：《高等代数》课程授课教案 Advance Algebra（二）

（2）实二次型f(X)=X'AX是正定的当且仅当它的正惯性指数等于n证：设f(x,x2x,)经非退化线性替换X=CY变成标准形2 +...+d.yf(xi,x2....,xn) = diyi +d2y2摩课教案由1),正定d,>0,i=1,2,…,n。实二次型f(X)=X'AX是正定的当且仅当它的正惯性指数等于n（2）A是正定的当且仅当A与单位矩阵E在R上合同。线证：正定二次型的规范形为+z2+…+z=Z'EZ。下思政：（4）A是正定的当且仅当矩阵A的顺序主子式全大于零。（5）A是正定的当且仅当有实可逆矩阵C，使得A=CC。非退化线讲证：：A与E合同,即存在可逆矩阵C使A=C'EC=C'C性替换不改（6）实对称正定一A与任一正对角矩阵合同.变矩阵的秩授若体现了“形d变质不变”新D:的哲学思想d.>0,i=l,课为任一正对角矩阵，则Va,D:-即D与E合注：非退化线性替换不改变矩阵的正定性。证明：设正定二次型(x,x2…x,）=X"AX。经过非退化线性替换XCY化成X,)-Y'(CAC)Yynk.,k,....,k.任取一组不全为零的k,KTY.K今E-27

27 线 下 讲 授 新 课 （2）实二次型 f ( ) X X AX   是正定的当且仅当它的正惯性指数等于 n . 证：设 1 2 ( , , , ) n f x x x 经非退化线性替换 X CY  变成标准形 2 2 2 1 2 1 1 2 2 ( , , , ) n n n f x x x d y d y d y     由 1), f 正定  0, 1,2, , d i n i   。 实二次型 f ( ) X X AX   是正定的当且仅当它的正惯性指数等于 n . （2） A 是正定的当且仅当 A 与单位矩阵 E n 在 R 上合同。 证：正定二次型的规范形为 2 2 2 1 2 n z z z Z EZ      。 （4） A 是正定的当且仅当矩阵 A 的顺序主子式全大于零。 （5） A 是正定的当且仅当有实可逆矩阵 C ，使得 A = C C 。 证： A 与 E 合同,即存在可逆矩阵 C 使 A C EC C C     。 （6）实对称矩阵 A 正定  A 与任一正对角矩阵合同. 若 1 2 , 0, 1,2, , i n d d D d i n d              为任一正对角矩阵，则 1 1 2 2 1 1 1 n n d d d d D d d                                    即 D 与 E 合同. 注：非退化线性替换不改变矩阵的正定性。 证明：设正定二次型 1 2 ( , , , ) n f x x x X AX   。经过非退化线性替 换 X ＝ CY 化 成 1 2 1 2 ( , , , ) ( ) ( , , , ) n n f x x x Y C AC Y g y y y     任取一组不全为零的数 1 2 , , , , n k k k 令 1 1 2 2 0 , , Y Y 0 0 n n k c k c X C k c                        思政： 非 退 化 线 性替换不改 变矩阵的秩 体现了“形 变质不变” 的哲学思想

f(c,c.....c.) = XAX, = Y,'(C'AC)Y, = g(ki,k,....k.)此处取特殊值法教学又由于C可逆，Y。0，所以X。0，即CCCh不全为0，更有利于培养学生举一.. g(k],k....kn)= f(c,C2....c.,)>0反三.. g(yi,J2....yn)正定.果教反之，实二次型g(JJ2,J）可经过非退化线性替换线Y=C-1X变到实二次型(x,…x),同理，若8正定，则了正定下所以，非退化线性替换不改变二次型的正定性讲2）负定二次型（负定矩阵）的判别实二次型X'AX（实对称阵A）是负定的当且仅当实二次型授-X'AX（实对称阵新-A）是正定的。（1）实二次型f(x,x2,,x）是负定的当且仅当它的负惯性指数等于课n.+d.x是负定的当且仅（2）实二次型x)=d,xd.x,+...f(x,X2,)当d,<0,i=1,2,",n;（3）A是负定的当且仅当A与-E,在R上合同。（4）A是负定的当且仅当矩阵A的奇数级顺序主子式都小于零，偶数级顺序主子式都大于零。（5）A是负定的当且仅当有实可逆矩阵C使A=-CC。（6）A是负定的当且仅当矩阵A的特征值全是负的。3）半正定二次型（半正定矩阵）的判别（1）实二次型f(x,x2，…,x）是半正定的当且仅当它的正惯性指数与秩相等。(2）实二次型f(xx2,x）=dx+d,x++dx半正定当且仅当d, ≥0,i=1,2,.,nE.在R上合同，其中r为（3）A是半正定的当且仅当A与矩阵0028

28 线 下 讲 授 新 课 1 2 0 0 0 0 1 2 ( , , , ) ( ) ( , , , ) n n f c c c X AX Y C AC Y g k k k       又由于 C 可逆， Y  0 0 ，所以 X  0, 0 即 1 2 , , , n c c c 不全为 0， 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) 0 n n    g k k k f c c c 1 2 ( , , , ) n  g y y y 正定. 反之，实二次型 1 2 ( , , , ) n g y y y 可经过非退化线性替换 Y X- 1 = C 变到实二次型 1 2 ( , , , ), n f x x x 同理，若 g 正定，则 f 正定. 所以，非退化线性替换不改变二次型的正定性. 2）负定二次型（负定矩阵）的判别 实二次型 X AX （实对称阵 A ）是负定的当且仅当实二次型 X AX （实对称阵 A ）是正定的。 （1）实二次型 ( , , , ) 1 2 n f x x  x 是负定的当且仅当它的负惯性指数等于 n 。 （2）实二次型 2 2 2 2 2 1 2 1 1 ( , , , ) n n n f x x  x  d x  d x  d x 是负定的当且仅 当 0, 1,2, , i d i n   ； （3） A 是负定的当且仅当 A 与 E n 在 R 上合同。 （4） A 是负定的当且仅当矩阵 A 的奇数级顺序主子式都小于零，偶数 级顺序主子式都大于零。 （5） A 是负定的当且仅当有实可逆矩阵 C 使 A = C C   。 （6） A 是负定的当且仅当矩阵 A 的特征值全是负的。 3）半正定二次型（半正定矩阵）的判别 （1）实二次型 ( , , , ) 1 2 n f x x  x 是半正定的当且仅当它的正惯性指数与秩 相等。 （2）实二次型 2 2 2 2 2 1 2 1 1 ( , , , ) n n n f x x  x  d x  d x  d x 半正定当且仅当 0, 1,2, , i d i n   （3） A 是半正定的当且仅当 A 与矩阵   r     E O O O 在 R 上合同，其中 r 为 此 处 取 特 殊值法教学 更有利于培 养学生举一 反三

矩阵A的秩。（4）A是半正定的当且仅当有n×n实矩阵C，使得A=C'C。（5）A是半正定的当且仅当矩阵A的特征值全大于等于零。4）半负定二次型（半负定矩阵）的判别实二次型XAX（实对称矩阵A）是半负定的当且仅当实二次型-X'AX（实对称矩阵-A）是半正定的。数线（1）实二次型f(xi,x2",x，）是半负定的当且仅当它的负惯性指数与秩下相等。XX（2）实二次型f(xx2x）=dx+d,x++d,x是半负定的当且讲y仅当d≤0,i=1,2,",n。授EO在R上合同，其中r为（3）A是半负定的当且仅当A与矩阵新00课矩阵A的秩。（4）A是半负定的当且仅当有n×n实矩阵C，使得A=-CC；（5）A是半负定的当且仅当A的特征值全小于等于零。注：①设A为正定矩阵，k是正实数，m是正整数，则kA,A"A-l,A也是正定矩阵AO②设A,B为正定矩阵，则也是正定矩阵。OB厂高等1．A是正定的当且仅当矩阵A的所有主子式全大于零。新证明：若实对称矩阵A正定，则A的任意一个k阶主子式此方法的证uiai明与本节所知 u>0.讲的定理证明方法类.似，培养学u生学以致证：作二次型用。展xi,,xi)=gxi.29

29 线 下 讲 授 新 课 矩阵 A 的秩。 （4） A 是半正定的当且仅当有 n n  实矩阵 C ，使得 A = C C 。 （5） A 是半正定的当且仅当矩阵 A 的特征值全大于等于零。 4）半负定二次型（半负定矩阵）的判别 实二次型 X AX （实对称矩阵 A ）是半负定的当且仅当实二次型 X AX （实对称矩阵A ）是半正定的。 （1）实二次型 ( , , , ) 1 2 n f x x  x 是半负定的当且仅当它的负惯性指数与秩 相等。 （2）实二次型 2 2 2 2 2 1 2 1 1 ( , , , ) n n n f x x  x  d x  d x  d x 是半负定的当且 仅当 0, 1,2, , i d i n   。 （3） A 是半负定的当且仅当 A 与矩阵    r     E O O O 在 R 上合同，其中 r 为 矩阵 A 的秩。 （4） A 是半负定的当且仅当有 n n  实矩阵 C ，使得 A = C C   ； （5） A 是半负定的当且仅当 A 的特征值全小于等于零。 注：① 设 A 为正定矩阵， k 是正实数， m 是正整数，则 1 , , , m k   A A A A 也是正定矩阵； ② 设 AB, 为正定矩阵，则       A O O B 也是正定矩阵。 新 知 扩 展 1. A 是正定的当且仅当矩阵 A 的所有主子式全大于零。 证明：若实对称矩阵 A 正定 ，则 A 的任意一个 k 阶主子式 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 0. k k k k k k i i i i i i i i i i i i k i i i i i i a a a a a a Q a a a   证：作二次型 1 2 1 1 ( , , , ) k s t s t k k i i i i i i i s t g x x x a x x      此方法的证 明与本节所 讲的定理证 明 方 法 类 似，培养学 生 学以致 用

( X对任意一不全为零的数…，有X=(cc）0摩课教案[c,，当j=i,s=1,2,,k新c,=[0,当 jis, s=1,2,,k其中知X'AX,>0.由于A正定，有f(X，x）=X'AX正定，即有扩展此处特殊值g(c,,,c,)= f(0,-,0,c,,,,,,,,0)的取法非常具备普遍意= X'AX,>0.义，是值得学习和注意即，8(，*，"）是正定二次型，因此其矩阵的是正定二次型，因此的技巧。A其矩阵的|2>0.2.A是正定的当且仅当矩阵A的特征值全是正的。高等代费V小本节介绍了正定二次型及其性质、正定性的判别、与正定二次型平行的几结个类型。30

30 新 知 扩 展 1 2 1 2 ( , , , ) k k i i i i i k i x x x x x Q x            对任意一不全为零的数 1 2 , , , k i i i c c c , 有 0 1 2 ( , , , ) 0, X c c cn   其中 , , 1,2, , 0, , 1,2, , si s j s c j i s k c j i s k         当 当 由于 A 正定，有 1 2 ( , , , ) n f x x x X AX   正定，即有 0 0 X AX   0, 1 2 1 2 ( , , , ) (0, ,0, ,0, , ,0, , ,0, ,0) k k i i i i i i g c c c f c c c  0 0   X AX  0。 即， 1 2 ( , , , ) k i i i g x x x 是正定二次型，因此其矩阵的是正定二次型，因此 其矩阵的 0. Qk  2. A 是正定的当且仅当矩阵 A 的特征值全是正的。 此处特殊值 的取法非常 具备普遍意 义，是值得 学习和注意 的技巧。 小 结 本节介绍了正定二次型及其性质、正定性的判别、与正定二次型平行的几 个类型

思考：设A是n级正定矩阵，则k>O时，A-I,kAAA"都是正定矩阵.正定性的证思证明由于A正定，存在可逆矩阵C，使C'AC=E明方法总结考C-A-(C)-=E，从而A-为正定矩阵与观摩课教案练VO+ X e R",X'AX>0 , : X'(kA)X >0(k>0)习：kA正定。又A正定，A>0，A-"正定，A=AA-正定[A|=A+0,A*对称当m=2k时，A"=A2k=（A*）EA*，从而A"正定.当m=2k+1时,A"=A2k+I=(A)A(A*)所以A"与A合同，因而A"正定作巩固所学P23513-17业阅1.张禾瑞，郝炳新编：《高等代数》，高等教育出版社读文2.王萼芳：《高等代数》，高等教育出版社献3.田孝贵等：《高等代数》，高等教育出版社1.学习通讨论区有学生对正定性、半正定的概率自行进行归类、统一教应对办法：线上讨论区回复正解，线下课堂强调易错点。学2.线上教学发挥了作用，否则传统课堂很难发现个别学生的错误认识。反线上学习氛围还要继续保持和加强，经过了三周的线上学习，学生已经形思成线上提问的习惯。3.本节课由正定性引出的思政元素教学，获得了学生的认同，学生能够自然接受。4.章末测验采用的是线上测验，并且第二节课提交了纸质版，从测验答题情况看，本章学习存在以下问题：（1）合同变换法与一般的初等变换出现混淆。（2）关于正定性的证明找不到思路。（3）二次型的矩阵易忽略对称性要求。A应对办法：（1）教学中要注重将相似概念讲清楚联系和区别。（2）注重证明思路及方法讲解。（3）加强概念性教学。5.线上自制的第5章思政微课（自制）学生学习后，线上发起问卷调查，学生本章的思政部分教学较为认可和接受。31

31 思 考 与 练 习 思考：设 A 是 n 级正定矩阵，则 k  0 时， n A ,kA, A .A 1 * 都是正定 矩阵. 证明 由于 A 正定，存在可逆矩阵 C ，使 CAC  E ,  C A C  E 1 1 1 ( ) ,从而 1 A 为正定矩阵. 0  X  R , XAX  0 ,  X(kA)X  0 (k  0) n  kA 正定。又 A 正定， A  0 , 1 A 正定, * 1 A  A A 正定. k k k A  A  0 , A 对称 当 m  2k 时， m k k k A A (A ) EA 2    ,从而 m A 正定. 当 m  2k 1 时, ( ) ( ) m 2k 1 k k A  A  A A A  所以 m A 与 A 合同，因而 m A 正定. 正定性的证 明方法总结 作 业 P235 13-17 巩固所学 阅 读 文 献 1.张禾瑞，郝炳新编：《高等代数》，高等教育出版社 2.王萼芳：《高等代数》，高等教育出版社 3.田孝贵等：《高等代数》，高等教育出版社 教 学 反 思 1.学习通讨论区有学生对正定性、半正定的概率自行进行归类、统一 应对办法：线上讨论区回复正解，线下课堂强调易错点。 2.线上教学发挥了作用，否则传统课堂很难发现个别学生的错误认识。 线上学习氛围还要继续保持和加强，经过了三周的线上学习，学生已经形 成线上提问的习惯。 3.本节课由正定性引出的思政元素教学，获得了学生的认同，学生能够 自然接受。 4.章末测验采用的是线上测验，并且第二节课提交了纸质版，从测验答 题情况看，本章学习存在以下问题： （1）合同变换法与一般的初等变换出现混淆。 （2）关于正定性的证明找不到思路。 （3）二次型的矩阵易忽略对称性要求。 应对办法：（1）教学中要注重将相似概念讲清楚联系和区别。 （2）注重证明思路及方法讲解。 （3）加强概念性教学。 5.线上自制的第 5 章思政微课（自制）学生学习后，线上发起问卷调查， 学生本章的思政部分教学较为认可和接受