沈阳师范大学：《高等代数》课程授课教案 Advance Algebra（二）

把n元二次型式（1）化成一个含平方项y的二次型，再转到情形1，如此下去有限步后就将二次型式（1）用非退化线性替换化为标准形。注：当二次2.合同变换法：型的矩阵主第一步：写出二次型式（1）的矩阵A，并构造2n×n矩阵对角线元素E)都为零时，不能采用换第二步：对施行初等列变换并对A施行同样的初等行变换，把A化线列和换行的1(E.)方法将主对下角线上第一为对角矩阵D，E.化为可逆矩阵C，此时C'AC=D。个元素化为讲非零元，而第三步：写出非退化线性替换X=CY化二次型为标准形f=YDY。应该在第一授步采用将其它某列和相例1：求一个非退化线性替换，将3元二次型=2xxz+2x-4xx化新应的行分别成标准形。加到第一课列、第一行(01的方法，例1 0 -2解：二次型f的矩阵为A=如该例就是(1 -20)在第一步中21 1)01将二次型10-20-21-2-20-10的矩阵A的第2列加到第1列第2行加到第1行00OF10第2列加到01100第1列，第0012行加到第1行。2002003110002-22第1列的-倍加到第2列314000第1列的倍加到第3列2列的-3倍加到第2行的-3倍加到第3行第1行的一倍加到第2行121-21第1行的专倍加到第3行221行变再做11/-11222相同的列A010010变，体现”对称美”12

12 线 下 讲 授 新 课 把 n 元二次型式（1）化成一个含平方项 2 i y 的二次型，再转到情形 1，如 此下去有限步后就将二次型式（1）用非退化线性替换化为标准形。 2. 合同变换法： 第一步：写出二次型式（1）的矩阵 A ，并构造 2n  n 矩阵 n A E         ； 第二步：对 n A E         施行初等列变换并对 A 施行同样的初等行变换，把 A 化 为对角矩阵 D ， E n 化为可逆矩阵 C ，此时 C AC = D  。 第三步：写出非退化线性替换 X = CY 化二次型为标准形 f Y DY  。 例 1：求一个非退化线性替换，将 3 元二次型 1 2 1 3 2 3 f x x x x x x    2 2 4 化 成标准形。 解： 二次型 f 的矩阵为 0 1 1 1 0 2 1 2 0              A 。 2 1 2 1 3 0 1 1 2 1 1 1 0 2 1 0 2 1 2 0 1 2 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1                                                     A E 第 列加到第 列 第 行加到第 行 1 2 2 1 3 2 3 3 1 2 3 3 1 2 2 1 2 2 0 0 2 0 0 1 3 0 1 2 2 0 0 2 3 1 0 0 0 4 2 2 1 1 1 1 2 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 0 0 1 0 0 1                                                                 第1列的- 倍加到第 列 第1列的 倍加到第 列 第2列的- 倍加到第 列 第 行的- 倍加到第 行 第 行的- 倍加到第 行 第1行的 倍加到第3行 注：当二次 型的矩阵主 对角线元素 都为零时， 不能采用换 列和换行的 方法将主对 角线上第一 个元素化为 非零元，而 应该在第一 步采用将其 它某列和相 应的行分别 加到第一 列、第一行 的方法，例 如该例就是 在第一步中 将二次型 f 的矩阵 A 的 第 2 列加到 第 1 列，第 2 行加到第 1 行。 行变再做 相同的列 变,体现” 对称美

121设C=则C是可逆矩阵，且2此例用配200方法。11摩课教案C'AC=D令X=CY，即：线1X=-+2y2下1=+-2讲x,=y3授式（1）是一个非退化线性替换，将其代入原二次型可得其标准形：新+4gJ = X'AX =(CY)A(CY)= Y(C'AC)Y = Y'DY =2y -2课V例2：用非退化线性替换化3元二次型f=x+2xz+3x+2x+2x？为标准形。解：f=x+2x2+3x2+2x2x+2x这是一个含有平方项的3元二次型，将其按进行配方=(年 +2x)+3x+2x2g+2x=(++x) +2x+2xx+2x须这是一个不含与的2元二次型，它有平方项，将其按x进行配方这是一个平方项=(x +x2) +(2x2 +2x,)+2x).1232=(x+x)/ +X二x+5X32Z这是一个1元二次型这是一个平方项由于上面依次按x，进行配方，因此令秩不变体现形变质不变的哲学思想13

13 线 下 讲 授 新 课 设 1 1 2 2 1 1 1 2 0 0 1                    C ， 2 1 2 4               D ，则 C 是可逆矩阵，且 C AC D   。 令 X CY  ，即： 1 1 2 3 2 1 2 3 3 3 1 2 2 1 2 x y y y x y y y x y                 （1） 式（1）是一个非退化线性替换，将其代入原二次型可得其标准形： 2 2 2 1 2 3 1 ( ) ( ) ( ) 2 4 2 f y y y        X AX CY A CY Y C AC Y Y DY      例 2 ： 用 非 退 化 线性替换 化 3 元 二 次 型 2 2 2 1 1 2 2 2 3 3 f x x x x x x x      2 3 2 2 为标准形。 解： 1 2 2 2 1 1 2 2 2 3 3 3 2 3 2 2 x f x x x x x x x      这是一个含有平方项的 元二次型,将其按 进行配方     1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 3 3 2 2 2 1 2 2 2 3 3 2 = 2 3 2 2 = 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x         这是一个平方项 这是一个不含 的 元二次型，它有平方项，将其按 进行配方     2 2 2 = 2 2 2 1 2 2 3 2 3 x x x x x x       2 2 2 1 2 2 3 3 1 1 3 2 2 2 x x x x x            这是一个 元二次型 这是一个平方项 由于上面依次按 1 2 x x, 进行配方，因此令： 此例用配 方法。 秩不变体 现形变质不 变的哲学思 想

1x, =y-2 +25y=x+x112=x+，即=2-?ys=xx,=y3为所用的非退化线性替换，将其代入原二次型可得其标准形：3f=+2y2。2新同一个二次型化标准形是否唯一呢？拓展学生思中维观摩课知扩展配方法与合同法是化二次型为标准形的两种重要方法，总结两种方小法的技巧和本质。结化三元二次型f=2xxz+2x-6x为标准形，并求所用的非退化线巩固复习性替换的系数矩阵C。思解：因为中不含有平方项，所以令：考与x=y+y2练X=-y2习[x,=y3即：代入于中，得：14

14 1 1 2 2 2 3 3 3 1 2 y x x y x x y x             ，即 1 1 2 3 2 2 3 3 3 1 2 1 2 x y y y x y y x y                为 所 用 的非 退 化线 性替 换 ， 将其 代 入原 二次 型 可 得其 标 准 形 ： 2 2 2 1 2 3 3 2 2 f y y y    。 新 知 扩 展 同一个二次型化标准形是否唯一呢？ 拓展学生思 维 小 结 配方法与合同法是化二次型为标准形的两种重要方法，总结两种方 法的技巧和本质。 思 考 与 练 习 化三元二次型 1 2 1 3 2 3 f x x x x x x    2 2 6 为标准形，并求所用的非退化线 性替换的系数矩阵 C 。 解：因为 f 中不含有平方项，所以令： 1 1 2 2 1 2 3 3 x y y x y y x y           即： 1 1 2 1 2 3 3 x y x y x y                      C ， 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1             C 代入 f 中，得： 巩固复习

f =2xx+2xx-6x2x=2(y +y2)(y-y2)+2(y +y2)y -6(yf-y2))此题在学习=2yz-2y-4yy +8yy通自制微课“化二次型再配方：为标准型的方法总结微f =(2y-4yy)-2y +8y2y课”中有讲=2(1-y) +(-22-2 +8y2)解，线上线下融合，促=2(-)+(-2 +8)-2)进理解。=2(1-y) +(-2(y2-2y:) +6y)=2(1-y)~-2(y2-2y,) +6y-ys[y =z][2) = y1+ 23令：2-2，即=2+2,，亦即3 22 =V[y3=[23 =y323(101)C,=0 12(001)则二次型化成标准形于=222-222+622，所用的非退化线性替换的系数矩阵为：C=CC巩固所学P2331(I)1) /2)P2342-4作业阅多角度学习1.张禾瑞，郝炳新编：《高等代数》，高等教育出版社。读文触类旁通2.王萼芳：《高等代数》，高等教育出版社。3.田孝贵等：《高等代数》，高等教育出版社献 1.线上视频课的此部分内容讲授的合同变换法与线下讲授的方法不教同，但殊途同归，发现有些学生对此异同产生了困惑与混淆。学应对办法：线下教学对这个问题要给学生解释清楚。反2.学习通讨论区有关概念性问题的答复较为活跃，但是对于思考性问思应对办法：在微信群、线下课堂点名表扬讨论问题积极题却不活跃。的学生，以带动更多学生参与讨论。15

15        1 2 1 3 2 3 1 2 1 2 1 2 3 1 2 3 2 2 1 2 1 3 2 3 2 2 6 2 2 6 2 2 4 8 f x x x x x x y y y y y y y y y y y y y y y y               再配方：                      2 2 1 1 3 2 2 3 2 2 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2 1 3 2 2 3 3 2 2 2 1 3 2 3 3 2 2 2 1 3 2 3 3 2 4 2 8 2 2 2 8 2 2 8 2 2 2 2 6 2 2 2 6 f y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y                            令： 1 1 3 2 2 3 3 3 2 z y y z y y z y          ，即 1 1 3 2 2 3 3 3 2 y z z y z z y z           ，亦即 1 1 2 2 2 3 3 y z y z y z                      C ， 2 1 0 1 0 1 2 001            C 则二次型 f 化成标准形 2 2 2 1 2 3 f z z z    2 2 6 ，所用的非退化线性替换 的系数矩阵为： 1 2 1 1 0 1 0 1 1 1 3 1 1 0 0 1 2 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1                                C C C 此题在学习 通自制微课 “化二次型 为标准型的 方法总结微 课”中有讲 解，线上线 下融合，促 进理解。 作 业 P233 1 (I) 1) 2) P234 2 - 4 巩固所学 阅 读 文 献 1.张禾瑞，郝炳新编：《高等代数》，高等教育出版社。 2.王萼芳：《高等代数》，高等教育出版社。 3.田孝贵等：《高等代数》，高等教育出版社 多角度学习 触类旁通 教 学 反 思 1.线上视频课的此部分内容讲授的合同变换法与线下讲授的方法不 同，但殊途同归，发现有些学生对此异同产生了困惑与混淆。 应对办法：线下教学对这个问题要给学生解释清楚。 2.学习通讨论区有关概念性问题的答复较为活跃，但是对于思考性问 题却不活跃。 应对办法：在微信群、线下课堂点名表扬讨论问题积极 的学生，以带动更多学生参与讨论

S5.3唯一性授课题目教学时数3学时1.了解规范型的定义线上预习目标2.了解不同数域上规范型。3.理解惯性定律#教关熟练掌握实数域与复数域上化二次型为规范形理解同一数域上化二次型为规范型的唯一性；教学目标提高解题的逻辑思维能力。1．理解唯一性体现”形变质不变”的哲学思想思政目标理解实规范型和复规范型的不同体现”具体问题具体分析”的哲学思想2.二次型的秩、实二次型的规范形、复二次型的规范形。教学重点实数域与复数域上化二次型为规范形及其规范性的唯一性。教学难点线上线下混合式教学（1.2学时线上线下混合式教学教学方法教学手段+1.8学时）（线上学银在线预习微课+线上（1.2学时）线上自制知识点总结微课+(1)预习学银在线视频课线上自制习题讲解微课+（2）线上随堂练习或线上预习测线下多媒体教学）试（3）完成作业后，学习学习通的作业题微课（自制）线下（1.8学时）：讨论式（师生讨论）、引导式、示范启发式黄影16

16 授课题目 §5.3 唯一性 教学时数 3 学时 线 上 预 习 目标 1.了解规范型的定义 2.了解不同数域上规范型。 3.理解惯性定律 教学目标 熟练掌握实数域与复数域上化二次型为规范形 理解同一数域上化二次型为规范型的唯一性； 提高解题的逻辑思维能力。 思政目标 1. 理解唯一性体现”形变质不变”的哲学思想 2. 理解实规范型和复规范型的不同体现”具体问题具体分析” 的哲学思想 教学重点 二次型的秩、实二次型的规范形、复二次型的规范形。 教学难点 实数域与复数域上化二次型为规范形及其规范性的唯一性。 教学方法 线上线下混合式教学（1.2 学时 +1.8 学时） 线上（1.2 学时） （1） 预习学银在线视频课 （2）线上随堂练习或线上预习测 试 （3）完成作业后，学习学习通的 作业题微课（自制） 线下（1.8 学时）：讨论式（师生讨 论）、引导式、示范启发式 教学手段 线上线下混合式教学 （线上学银在线预习微课+ 线上自制知识点总结微课+ 线上自制习题讲解微课+ 线下多媒体教学）