四、矩阵合同1.矩阵合同的定义数域P上nxn矩阵AB称为合同的，如果有数域P上的nxn可逆矩阵C，使得果教案B=CAC，此时也称AB在数域P上合同。2.矩阵合同的性质设A,B,C是数域P上的n×n矩阵。合同是矩阵之间的一种关系，它具有自反性、对称性、传递性，即：性质1：A与A合同：性质2：如果A与B合同，那么B与A合同：注意矩阵性质3：如果A与B合同，且B与C合同，那么A与C合同。合同是一种注：①矩阵合同与数域有关；等价关系。②经非退化线性替换，新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的。二次型等价（1）数域P上两个n元二次型XAX（A'=A)与YBY（B'=B），如思政：用联果存在一个非退化线性替换X=CY（C是数域P上的nxn可逆矩系的观点看阵），把XAX变成YBY，那么称二次型X'AX与YBY等价，记作问题X'AX=Y'BY。新（2）数域P上两个n元二次型XAX（A=A)与YBY（B=B）等价知当且仅当它们的矩阵A与B在数域P上合同。（3）数域P上任一n元二次型都等价于一个只含平方项的二次型。扩展
7 四、 矩阵合同 1. 矩阵合同的定义 数域 P 上 n n 矩阵 AB, 称为合同的，如果有数域 P 上的 n n 可逆 矩阵 C ，使得 B C AC ，此时也称 AB, 在数域 P 上合同。 2. 矩阵合同的性质 设 A B,C , 是数域 P 上的 n n 矩阵。合同是矩阵之间的一种关系， 它具有自反性、对称性、传递性，即： 性质 1： A 与 A 合同； 性质 2：如果 A 与 B 合同，那么 B 与 A 合同； 性质 3：如果 A 与 B 合同，且 B 与 C 合同，那么 A 与 C 合同。 注：① 矩阵合同与数域有关； ② 经非退化线性替换，新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同 的。 注意矩阵 合同是一种 等价关系。 新 知 扩 展 二次型等价 （1）数域 P 上两个 n 元二次型 X AX A A 与 Y BY B B ，如 果存在一个非退化线性替换 X = CY （ C 是数域 P 上的 n n 可逆矩 阵），把 X AX 变成 Y BY ，那么称二次型 X AX 与 Y BY 等价，记作 X AX Y BY 。 （2）数域 P 上两个 n 元二次型 X AX A A 与 Y BY B B 等价 当且仅当它们的矩阵 A 与 B 在数域 P 上合同。 （3）数域 P 上任一 n 元二次型都等价于一个只含平方项的二次型。 思政：用联 系的观点看 问题
本节主要学习了二次型的定义、二次型矩阵的性质以及合同矩阵的小定义和性质，涉及的题型为（1）已知二次型，求其矩阵。结（2）利用矩阵合同的性质证明相关问题。x.)= E(ax +ax,+.+amx.)。此题加深学-f(xi,xa.x,思=（=li=l生对二次型考的秩与矩阵证明：f(,,,x）的秩等于矩阵A=（a）的秩。与的秩的关系练的理解。(x)y,=ax,+a2,+.+anx）习证明：令=+*++，那么有y22:xny,=ax+as2x,+...+amxn于是：xJ()-2-(0)X.",X)(AA(X,x2,.1=1y.x.因为AA是实对称阵，所以AA为f(x,x，",x）的矩阵，且r(A'A)=r(A),于是: f(μ,x2,",x,)的秩=r(A'A)=r(A) 。巩固所学作P2331(I)1）2）（要求只写出二次型的矩阵）业阅1.张禾瑞，郝炳新编：《高等代数》，高等教育出版社。多角度学习读触类旁通2.王萼芳：《高等代数》，高等教育出版社。文3.田孝贵等：《高等代数》，高等教育出版社献1.线上视频课的预习加深了学生的对知识的理解，从学生课上的反馈教看，混合式教学效果明显好于传统教学。学2.通过提问发现，仍有学生预习效果不明显，态度不够认真。反需加强引导和督促。思3.学习通讨论区学生积极提问和答复，极大拓展了线下教学的时空，形成了较为浓厚的线上学习氛围。8
8 小 结 本节主要学习了二次型的定义、二次型矩阵的性质以及合同矩阵的 定义和性质，涉及的题型为 （1）已知二次型，求其矩阵。 （2）利用矩阵合同的性质证明相关问题。 思 考 与 练 习 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 , , , = s n s n ij j i i in n i j i f x x x a x a x a x a x 。 证明： f x x x 1 2 , , , n 的秩等于矩阵 ij sn A a 的秩。 证明：令 1 11 1 12 2 1 2 21 1 22 2 2 1 1 2 2 n n n n s s s sn n y a x a x a x y a x a x a x y a x a x a x ， 那么有： 1 1 2 2 s n y x y x y x A ， 于是： 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 , , , , , , , , , s n i s n i s n y x y x f x x x y y y y x x x y x A A 因 为 AA 是实对称阵 ，所以 AA 为 f x x x 1 2 , , , n 的矩阵，且 r r A A A ，于是： f x x x 1 2 , , , n 的秩 r r A A A 。 此题加深学 生对二次型 的秩与矩阵 的秩的关系 的理解。 作 业 P233 1 (I) 1) 2) （要求只写出二次型的矩阵） 巩固所学 阅 读 文 献 1.张禾瑞，郝炳新编：《高等代数》，高等教育出版社。 2.王萼芳：《高等代数》，高等教育出版社。 3.田孝贵等：《高等代数》，高等教育出版社 多角度学习 触类旁通 教 学 反 思 1.线上视频课的预习加深了学生的对知识的理解，从学生课上的反馈 看，混合式教学效果明显好于传统教学。 2.通过提问发现，仍有学生预习效果不明显，态度不够认真。 需加强引导和督促。 3.学习通讨论区学生积极提问和答复，极大拓展了线下教学的时空，形 成了较为浓厚的线上学习氛围
授课题目85.2标准型教学时数3学时1.了解化二次型为标准型的方法线上预习目标2.学会配方法3.了解合同变换法1.掌握二次型化成标准形的相关理论以及相应的矩阵语言的叙述；教学目标2.熟练掌握化二次型为标准形的方法（配方法与合同变换法）。1.理解化二次型为标准型的不变量蕴含”形变质不变”的哲学思想思政目标2.理解合同变换法的”对称美”教学重点二次型的标准形、求标准形的方法。化二次型为标准形。教学难点线上线下混合式教学（1.2学时线上线下混合式教学教学方法教学手段+1.8学时）（线上学银在线预习微课+线上（1.2学时）：线上自制知识点总结微课+线上自制习题讲解微课+（1）预习学银在线视频课（2）随堂练习或预习练习线下多媒体教学）（3）课后学习学习通微课（自制）：“化二次型为标准型的方法总结”线下（1.8学时）：讨论式（师生讨论）、引导式、示范启发式设计意图教学过程教师：（线上教学准备）线1.学生带着1.学习通“通知”发布学生预习的“学银在线视频课”的内容及预习后回上答的问题。问题学习视频课，使学问题1：化二次型为标准型的方法有哪些？教生把握重问题2：配方法的本质是什么？学点，有的放问题3：合同变换法与一般的线性变换有何区别？失，提高预过习效果2.为学生编写、设计、发布学习通-活动-随堂测验的预习测验题。程3.录制“二次型为标准型的方法总结微课”，上传学习通。2.检验预习效果
9 授课题目 §5.2 标准型 教学时数 3 学时 线 上 预 习 目标 1.了解化二次型为标准型的方法 2.学会配方法 3.了解合同变换法 教学目标 1.掌握二次型化成标准形的相关理论以及相应的矩阵语言的叙述； 2.熟练掌握化二次型为标准形的方法（配方法与合同变换法）。 思政目标 1. 理解化二次型为标准型的不变量蕴含”形变质不变”的哲学思想 2. 理解合同变换法的”对称美” 教学重点 二次型的标准形、求标准形的方法。 教学难点 化二次型为标准形。 教学方法 线上线下混合式教学（1.2 学时 +1.8 学时） 线上（1.2 学时）: （1）预习学银在线视频课 （2）随堂练习或预习练习 （3）课后学习学习通微课（自制）： “化二次型为标准型的方法总结” 线下（1.8 学时）： 讨论式（师生讨论）、引导式、示 范启发式 教学手段 线上线下混合式教学 （线上学银在线预习微课+ 线上自制知识点总结微课+ 线上自制习题讲解微课+ 线下多媒体教学） 教学过程 设计意图 线 上 教 学 过 程 教师：（线上教学准备） 1.学习通“通知”发布学生预习的“学银在线视频课”的内容及预习后回 答的问题。 问题 1：化二次型为标准型的方法有哪些？ 问题 2：配方法的本质是什么？ 问题 3：合同变换法与一般的线性变换有何区别？ 2.为学生编写、设计、发布学习通-活动-随堂测验的预习测验题。 3.录制“二次型为标准型的方法总结微课”，上传学习通。 1.学生带着 问题学习视 频课，使学 生 把 握 重 点，有的放 矢，提高预 习效果 2.检验预习 效果
3.6.总结方学生：（线上学习内容）法，便于学生复习总4.学生学习通预习学银在线本节课的视频课（24分左右），并在学习通讨论区提问不懂的地方，师生共同讨论结。5.学生学习通-活动-随堂练习，完成本节课预习测验题（12分左右）4、5.通过视6.课后学习学习通自制微课“二次型为标准型的方法总结微课”。频课预习，提前了解本节课内容，加深知识点理解。7、8.通过预习测验题的教师：（线上教学总结）扇形统计7.通过学习通后台的“统计“了解学生视频课任务点完成情况，督促未完图，了解学成同学完成，确保任务点完成率达百分之百。生的知识点8.借助“学习通随堂测验“的”成绩统计“，了解学生知识点掌握情况。掌握情况，使线下教学更有针对性。提问学生：通过线上预习，有哪些收获？检验预习效1.化二次型为标准型的方法有哪些？2.配方法的技巧果线3.合同变换法的本质下教学提出问题，二次型中最简单的一种是只包含平方项的二次型过引起学生的学习兴趣。程d+dx+.+d,x.导如何将二次型化为上面的标准形呢？课一、标准形定义1：只包含平方项的二次型d+dx++d,x?(1)称为标准形，式（1）中d,dz，",d,里不等于零的数的个数等于标准形10
10 学生：（线上学习内容） 4.学生学习通预习学银在线本节课的视频课（24 分左右）， 并在学习通讨论区提问不懂的地方，师生共同讨论 5.学生学习通-活动-随堂练习，完成本节课预习测验题(12 分左右) 6.课后学习学习通自制微课“二次型为标准型的方法总结微课”。 教师：（线上教学总结） 7.通过学习通后台的“统计“了解学生视频课任务点完成情况，督促未完 成同学完成，确保任务点完成率达百分之百。 8.借助“学习通随堂测验“的”成绩统计“，了解学生知识点掌握情况。 3．6.总结方 法，便于学 生 复 习 总 结。 4、5.通过视 频课预习， 提前了解本 节课内容， 加深知识点 理解。 7、8.通过预 习测验题的 扇 形 统 计 图，了解学 生的知识点 掌握情况， 使线下教学 更 有 针 对 性。 线 下 教 学 过 程 导 课 提问学生：通过线上预习，有哪些收获？ 1.化二次型为标准型的方法有哪些？ 2.配方法的技巧 3. 合同变换法的本质 二次型中最简单的一种是只包含平方项的二次型 2 2 2 2 2 1 1 n n d x d x d x . 如何将二次型化为上面的标准形呢？ 检验预习效 果 提出问题， 引起学生的 学习兴趣。 一、标准形 定义 1：只包含平方项的二次型 2 2 2 2 2 1 1 n n d x d x d x （1） 称为标准形， 式（1）中 1 2 , , , n d d d 里不等于零的数的个数等于标准形
d,d,式（1）的秩，标准形式（1）的矩阵为对角矩阵a.注1：数域P上任意一个二次型都可以经过数域P上的非退化线性替换棵教案变成标准形。注2：在数域P上任意一个对称矩阵在数域P上都合同于一对角矩阵。二、化二次型为标准形的方法1.配方法线然后与x配方，按下列公式下(b)b?ax,+bx,=al(2)2a)4a“抽丝剥讲茧”形象描配成完全平方，式（2）中，α为二次型式（1）中x的系数，b为二次授述此法K型式（1）中所有含有x,的交叉项提出x,后的和，之后做非退化线性替换：新[=x[x, =y]课.y-[= X,-IX(-I = yi-1b，即：bEXx=y.-2a12aY/4I = X+1Xi+I = Yi+1..[X,=]n[Y, = X.就将n元二次型式（1）化成一个平方项加上一个关于Ji,"yi-1,yi+1"",yn的n-1元二次型，如果这个n-1元二次型有平方项，重复上述过程，就将其化成一个平方项加上一个n一2元二次型，否则转情形2。情形2：如果二次型式（1）不含平方项，设a，0(i≠j)，则可先作非退化线性替换：[x, =y,+y]此例用合同法3x, =y-y)x=yk(k=l,2,."",n,k±i,j)11
11 线 下 讲 授 新 课 式（1）的秩，标准形式（1）的矩阵为对角矩阵 1 2 n d d d 。 注 1：数域 P 上任意一个二次型都可以经过数域 P 上的非退化线性替换 变成标准形。 注 2：在数域 P 上任意一个对称矩阵在数域 P 上都合同于一对角矩阵。 二、化二次型为标准形的方法 1. 配方法 情形 1： 如果二次型式（5.1）含 i x 的平方项，就集中所有含 i x 的交叉项， 然后与 2 i x 配方，按下列公式 2 2 2 2 4 i i i b b ax bx a x a a （2） 配成完全平方，式（2）中， a 为二次型式（1）中 2 i x 的系数，b 为二次 型式（1）中所有含有 i x 的交叉项提出 i x 后的和，之后做非退化线性替换： 1 1 1 1 1 1 2 i i i i i i n n y x y x b y x a y x y x ，即： 1 1 1 1 1 1 2 i i i i i i n n x y x y b x y a x y x y ， 就 将 n 元 二 次 型 式 （ 1 ） 化 成 一 个 平 方 项 加 上 一 个 关 于 1 1 1 , , , , , i i n y y y y 的 n 1 元二次型，如果这个 n 1 元二次型有平 方项，重复上述过程，就将其化成一个平方项加上一个 n 2 元二次型， 否则转情形 2。 情形 2：如果二次型式（1）不含平方项，设 a 0(i j) ij ，则可先作非退 化线性替换： ( 1, 2, , ; , ) i i j j i j k k x y y x y y x y k n k i j “ 抽 丝 剥 茧”形象描 述此法 此例用合 同法