§4利用导数研究函数的图像 曲线的绘制 s41曲线的弯曲方向一—凹凸性 问题:如何研究曲线的弯曲方向?
§4 利用导数研究函数的图像 ——曲线的绘制 §4.1 曲线的弯曲方向——凹凸性 问题: 如何研究曲线的弯曲方向?
凹凸的定义 yJf》 B y y=)B ■■ X 图形上任意弧段图形上任意弧段 位于所张弦下方位于所张弦上方 AB是凹弧 4B是凸弧
y o x y=f(x) 图形上任意弧段 位于所张弦下方 y o x y=f(x) 图形上任意弧段 位于所张弦上方 x1 x2 A B x1 x2 A B AB是凹弧 ( AB是凸弧 ( 凹凸的定义
C(a,b)为凸区间 B (b,c)为凹区间 a b cx B为曲线AC的拐点 连续曲线上凹凸的分界点称为曲线 的拐点
y o x 连续曲线上凹凸的分界点称为曲线 的拐点 B b A C a c (a, b)为凸区间 (b, c)为凹区间 B为曲线AC的拐点
凹凸的判别 B y=f(x B :(x) bx b x f'(x)递增 f'(x)递减 y>0 y<0
y o x y=f(x) 凹凸的判别 y=f(x) y o x A B a b A a B b f (x)递增 y>0 f (x)递减 y<0 凹: 凸:
定理:如果fx)在a1上连续,在(n,b)内具 有二阶导数若在(a,b)内 (1)∫(x)>0,则f(x)在[a,b上的图形是凹的 (2)f(x)<0,则f(x)在,b上的图形是凸的 BC在拐点处f"(x)变号 在拐点B处的二阶导数为零 b cx 若f"(x)=0或不存在,两侧的f"(x)异号, 则x是拐点
如果f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具 有二阶导数,若在(a,b)内 (1) f (x)>0,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的 (2) f (x)<0,则f(x)在[a,b]上的图形是凸的 在拐点B处的二阶导数为零 y o x B b A C a c 定理: 在拐点处f (x)变号 若f (x0 )=0或不存在,两侧的f (x)异号, 则x0是拐点