§12中值定理(拉格朗日) 、拉格朗日中值定理 、罗尔定理
§1.2 中值定理(拉格朗日) 一、拉格朗日中值定理 二、罗尔定理
拉格朗日中值定理 如果函数(x满足 (1)在闭区间[an,b上连续 (2)在开区间(an,b)内可导 那么在开区间(a,b)内至少存在一点, 使得 f(b)-f(a) b-a =f()(5∈(a,6) 此公式称为拉格朗日公式
拉格朗日中值定理 如果函数f(x)满足 (1)在闭区间[a, b]上连续 (2)在开区间(a, b)内可导 那么在开区间(a,b)内至少存在一点 , 使得 ( ) ( ) ( ) f b a f b f a = − − ((a,b)) 此公式称为拉格朗日公式
几何解释: f(b)-∫(a) b =f(2 ff(x)B s2b x 在曲线弧AB上至少有一点C,在该 点处的切线平行于弦AB
D 2 几何解释: A y o a x b C y=f(x) B 1 在曲线弧AB上至少有一点C,在该 点处的切线平行于弦AB ( ) ( ) ( ) f b a f b f a = − −
∫(b)-∫(a) b f'(4) 函数在区间[a,b内点处函数的 上整体变化的平局部变化率 均变化率 可见拉格朗日公式精确地表达了 函数在一个区间上的增量与函数在这 区间内某点处的导数之间的关系
( ) ( ) ( ) f b a f b f a = − − 函数在区间[a, b] 上整体变化的平 均变化率 内点处函数的 局部变化率 可见,拉格朗日公式精确地表达了 函数在一个区间上的增量与函数在这 区间内某点处的导数之间的关系
推论:如果函数fx)在区间(a,b)内的导数 恒为零,那么八x)是区间(a,b)内的常数函 数,即导数为零的函数是常数函数 证]设x1,x2是(a,b)内的任意两点 且x1<x2 ∵f(x)在(a,b)内可导 fx)在x1,x内连续,在(x1,x2)内可导 由拉格朗日定理有
如果函数f(x)在区间(a, b)内的导数 恒为零, 那么f(x)是区间(a, b)内的常数函 数 推论: [证] 设x1 , x2是(a, b)内的任意两点 且 x1<x2 ∵ f(x)在(a, b)内可导 ∴ f(x)在[x1 , x2 ]内连续,在(x1 , x2 )内可导 由拉格朗日定理,有 ,即导数为零的函数是常数函数