§2计算定积分的一般方法 微积分基本定理 §21徼积分基本定理 、积分上限函数 牛顿—莱布尼茨公式
§2 计算定积分的一般方法 ——微积分基本定理 §2.1 微积分基本定理 一、积分上限函数 二、牛顿—莱布尼茨公式
积分上限函数 设fx)在[a,b上可积,x∈a,bl由积分 a(x)=∫(OMm所定义的函数(称为 积分上限函数 Pb 同理由积分型(x)=f()M所定义 的函数y(x)称为积分下限函数 Φ(x)和(x)通称为积分变限函数, 都是[a,b上的连续函数
所定义 的函数(x)称为积分下限函数 所定义的函数(x)称为 积分上限函数 一、积分上限函数 设f(x)在[a,b]上可积, x[a,b],由积分 x f t dt x a ( ) = ( ) 同理,由积分 x f t dt b x ( ) = ( ) (x)和(x)通称为积分变限函数, 都是[a,b]上的连续函数
定理1(微积分基本定理) 若函数(x)在,b上连续,则积分上 限函数(x)=(M在a,上可导,且 (x)=f(x) 可见Φ(x)是八x)在(,b上的一个原函数 i证]△Φ=①(x+△x)Φ(x) x+△r x op(x f(tdt- f(tdt Oxx+△xhx
在[a,b]上可导, 且 (x)=f(x) y o a bx 定理1 (微积分基本定理) 若函数f(x)在[a,b]上连续,则积分上 限函数 x f t dt x a ( ) = ( ) 可见,(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数 [证] =(x+x)−(x) f t dt f t dt x a x x a = − + ( ) ( ) x x+x (x)
r f(Mdt-f(dt ∫nf(M+」r(xy-mf(Mm x+△r f(tdt 由积分中值定理得 (x) △Φ=f4)x5∈[x,x+△x xa+△xbx →A=(5)→趣A=m 又Δx→>0→2x∴.d(x)=f(x)
f t dt f t dt f t dt x a x x x x a = + − + ( ) ( ) ( ) f t dt x x x + = ( ) 由积分中值定理,得 =f( )x [x, x+x] f ( ) x = lim lim ( ) 0 0 f x→ x x→ = 又x→0→x ∴(x)=f(x) y o a x x+xbx (x) f t dt f t dt x a x x a = − + ( ) ( )
微积分基本定理的重要意义: (1)肯定了连续函数的原函数是存在的 (2)揭示了定积分与微分之间的联系
微积分基本定理的重要意义: (1)肯定了连续函数的原函数是存在的 (2)揭示了定积分与微分之间的联系