§22定积分的换元积分法和 分部积分法 求定积分归结为求原函数,故利用 求不定积分的方法
§2.2 定积分的换元积分法和 分部积分法 求定积分归结为求原函数,故利用 求不定积分的方法
、换元积分法 定理1若函数f(x)在[a,b上连续,函数 x=g(满足下列条件: (1)(a)=a,g(6=b,且∝≤m(b,t∈|aB (2)在[a,上有连续导数g1(O) 则有定积分换元公式 f(x)Mx=」fp()lp()t
若函数f (x)在[a, b]上连续, 函数 x=(t)满足下列条件: 一、换元积分法 定理1 (1)()=a,()=b,且a≤(t)≤b, t[,] (2)在[,]上有连续导数 (t) 则有定积分换元公式: f x dx f t t dt b a = ( ) [( )] ( )
注意: (1)用x=g(把变量x换成新变量时,积分 上下限也相应的改变 (2)求出几()的一个原函数Φ(0)后, 不必象计算不定积分那样把Φ(2变换成 变量κ的函数,而只要把新变量上下限 分别代入Φ(,然后相减就行了
注意: (1)用x=(t)把变量x换成新变量t时,积分 上下限也相应的改变 (2)求出f[(t)] (t)的一个原函数(t)后, 不必象计算不定积分那样把(t)变换成 变量x的函数,而只要把新变量t的上下限 分别代入(t),然后相减就行了
例1求 cos xsin xdx 解:令仁cosx→l=- sinxdx x=0→t=1x=z→t0 2 原式 6
x xdx 2 0 5 cos sin 例1 求 解: 令t=cosxdt= −sinxdx 2 x=0t=1 x = t=0 原式= t dt − 0 1 5 0 1 6 6 t = − 6 1 =
例2求 2 dx (a>0) x+√ 解:令x= asin=→dx= costa x=0→0 a→t=z 原式 a cos t aint +va(1-sin t 元 cos t o sintt cos t
dx x a x a + − 0 2 2 例 1 2 求 (a>0) 解: 令x=asintdx=acostdt 2 t = x=0t=0 原式= x=a dt a t a t a t + − 2 0 2 2 sin (1 sin ) cos dt t t t + = 2 0 sin cos cos