s4定积分魅力的显示 在若干学科中的应用 §41微元法 定积分的应用问题,般可以按 “分割、近似求和、取极限”三个步 骤把所求量表示为定积分的形式
§4 定积分魅力的显示 ——在若干学科中的应用 §4.1 微元法 定积分的应用问题,一般可以按 “分割、近似求和、取极限”三个步 骤把所求量表示为定积分的形式
在求曲边梯形的面积中,y 用AS表示任一小区间 y=f() x,x+△x]上的窄曲边 梯形的面积,则 o a x tash x S △S d 并取△Sfx),则S≈∑f(xd/面 S=im∑f(x)dtc 积 元 5,f(ydx 素
S f (x)dx a y o b x y=f(x) 在求曲边梯形的面积中, x x+dx 用S表示任一小区间 [x, x+x]上的窄曲边 梯形的面积,则 S = S 并取Sf(x)dx,则 S = lim f (x)dx f x dx b a = ( ) dS 面 积 元 素
当所求量Q符合下列条件 (1)Q是与一个变量x的变化区间[a,6有关 的量 (2)Q对于区间[a,b具有可加性即,如果把 区间{a,b分成许多部分区间,则Q相应地 分成许多部分量而Q等于所有部分量之 和 (3)部分量△Q的近似值可表示为f()△x; 就可以考虑用定积分来表达这个量Q
当所求量Q符合下列条件: (1)Q是与一个变量x的变化区间[a,b]有关 的量 (2)Q对于区间[a,b]具有可加性.即,如果把 区间[a, b]分成许多部分区间,则Q相应地 分成许多部分量,而Q 等于所有部分量之 和 (3)部分量Qi的近似值可表示为f(i )xi 就可以考虑用定积分来表达这个量Q
微元法的一般步骤: (1)根据问题的具体情况,选取一个变量 (如x)为积分变量,并确定它的变化区间 la, b (2)设想把区间[a,b分成n个小区间取其 中任一小区间并记为[x,x+x,求出相应 于这小区间的部分量△Q的近似值.如果 △Q能近似地表示为a,b上的一个连续函 数在x处的值fx)与d的乘积,就把f(x)dx 称为量Q的元素且记作Q,即Q=f(x)dx
微元法的一般步骤: (1)根据问题的具体情况,选取一个变量 (如x)为积分变量,并确定它的变化区间 [a,b] (2)设想把区间[a,b]分成n个小区间,取其 中任一小区间并记为[x, x+dx],求出相应 于这小区间的部分量Q的近似值. 如果 Q能近似地表示为[a,b]上的一个连续函 数在x处的值f(x)与dx的乘积,就把 f(x)dx 称为量Q的元素且记作dQ,即dQ=f(x)dx
(3)以所求量Q的元素f(x)dx为被积表达 式,在区间[4,b上作定积分得 2=I f(edx 即为所求量Q的积分表达式 这个方法通常叫做微元法(元素法) 微元法的实质仍是和式的极限
(3)以所求量Q的元素f(x)dx为被积表达 式,在区间[a,b]上作定积分,得 Q f x dx b a = ( ) 即为所求量Q的积分表达式 这个方法通常叫做微元法(元素法) 微元法的实质仍是和式的极限