问题式教学法在线性代数教学中的应用 线性代数的复习方法 第一章行列式… 第二章矩阵 第三章向量 第四章线性方程组 第六章二次型 线性代数攻略 问题式教学法在线性代数教学中的应用 武汉科技学院数理系方文波 摘要:本文简要介绍了作者设计的线性代数问题式教学法该 方法以解决求解线性方程组时的三个问题为线索,一一引出该课程的 所有概念和理论。 关键词问题式教学法线性方程组 中图分类号G42307
问题式教学法在线性代数教学中的应用........................................................ 1 线性代数的复习方法............................................................................................ 12 第一章 行 列 式................................................................................................ 17 第二章 矩 阵..................................................................................................... 25 第三章 向 量..................................................................................................... 35 第四章 线性方程组............................................................................................ 44 第六章 二 次 型................................................................................................ 63 线性代数攻略.......................................................................................................... 72 问题式教学法在线性代数教学中的应用 武汉科技学院数理系 方文波 摘 要：本文简要介绍了作者设计的线性代数问题式教学法,该 方法以解决求解线性方程组时的三个问题为线索，一一引出该课程的 所有概念和理论。 关键词 问题式教学法 线性方程组 中图分类号 G423.07
1.前言 人类已跨入新世纪,进入信息时代。信息时代的特点是知识大爆 炸,新的学科不断出现,知识更新的周期越来越短。因此,新世纪对 人才有更高的要求:既要有扎实的基础知识,又要有不断学习新知识、 解决新问题的能力。传统的教学方法以传授知识为主,忽视了对学生 进行能力培养,因而已不适应新时代的要求,必须进行改革 线性代数是高等工科院校学生必修的一门主要基础课程。它是解 决现实世界中的离散问题的有力工具。作者经过十几年的教学实践, 发现线性代数是一门很有特色的课程。第一,线性代数中有很多有用 的方法,这些方法都是通过引进概念、建立相关的理论,再经过严密 的逻辑推理而得到。但用这些方法去解题时,又都是一些较简单的算 术运算。所以在教学时,教师应把重点放在这些方法的产生过程上, 而不是放在方法的使用上。事实上,这些方法的产生过程,就是提出 问题、分析问题、解决问题的过程。学生学习这一过程,也就是学习 如何提出问题、如何分析问题、如何解决问题,这有利于他们能力的 提高;第二,线性代数中的很多概念和理论都与线性方程组有关,在 教学时这些概念和理论可由“如何求解线性方程组”这一中心问题来 引出。因此,作者在教学过程中采用了问题式教学法。作者使用 的教材为同济大学编写的<<线性代数>第三版,其内容有:行列式、 矩阵、向量组的线性相关性、线性方程组、相似矩阵及二次型、线性 空间与线性变换。作者把前四章定为知识篇,后两章为应用篇。下面
1. 前言 人类已跨入新世纪，进入信息时代。信息时代的特点是知识大爆 炸，新的学科不断出现，知识更新的周期越来越短。因此，新世纪对 人才有更高的要求：既要有扎实的基础知识，又要有不断学习新知识、 解决新问题的能力。传统的教学方法以传授知识为主，忽视了对学生 进行能力培养，因而已不适应新时代的要求，必须进行改革。 线性代数是高等工科院校学生必修的一门主要基础课程。它是解 决现实世界中的离散问题的有力工具。作者经过十几年的教学实践， 发现线性代数是一门很有特色的课程。第一，线性代数中有很多有用 的方法，这些方法都是通过引进概念、建立相关的理论，再经过严密 的逻辑推理而得到。但用这些方法去解题时，又都是一些较简单的算 术运算。所以在教学时，教师应把重点放在这些方法的产生过程上， 而不是放在方法的使用上。事实上，这些方法的产生过程，就是提出 问题、分析问题、解决问题的过程。学生学习这一过程，也就是学习 如何提出问题、如何分析问题、如何解决问题，这有利于他们能力的 提高；第二，线性代数中的很多概念和理论都与线性方程组有关，在 教学时这些概念和理论可由“如何求解线性方程组”这一中心问题来 一一引出。因此，作者在教学过程中采用了问题式教学法。作者使用 的教材为同济大学编写的<<线性代数>>第三版，其内容有：行列式、 矩阵、向量组的线性相关性、线性方程组、相似矩阵及二次型、线性 空间与线性变换。作者把前四章定为知识篇，后两章为应用篇。下面
我以知识篇为例,简要介绍一下本人设计的问题式教学法,供有兴趣 的同仁参考,不当之处,望批评指正。 2.问题式教学法的总体设计 知识篇中的四个知识点的内在联系可用图1来表示 矩阵 行列式 线性方程组 应向量组 式引出 图1知识篇中的四个知识点的内在联系图 由于知识篇中的四个知识点有如图1所示的内在联系,所以在知 识篇中应用问题式教学法的总体构思如下:知识篇中的四个知识点以 线性方程组为中心,即整个知识篇以如何求解线性方程组这一中心问 题来展开。由求解特殊线性方程组即未知数的个数与方程的个数相等 且方程组中没有多余的方程可引出行列式的概念,接着研究行列式的 理论,最后由克莱姆法则解决这类方程的求解问题;对于一般的线性 方程组,先引出矩阵的概念,由于矩阵与方程组一一对应,因此研究 线性方程组就转化为研究矩阵,并最终由矩阵来解决解线性方程组的
我以知识篇为例，简要介绍一下本人设计的问题式教学法，供有兴趣 的同仁参考，不当之处，望批评指正。 2. 问题式教学法的总体设计 知识篇中的四个知识点的内在联系可用图 1 来表示 由于知识篇中的四个知识点有如图 1 所示的内在联系，所以在知 识篇中应用问题式教学法的总体构思如下：知识篇中的四个知识点以 线性方程组为中心，即整个知识篇以如何求解线性方程组这一中心问 题来展开。由求解特殊线性方程组即未知数的个数与方程的个数相等 且方程组中没有多余的方程可引出行列式的概念，接着研究行列式的 理论，最后由克莱姆法则解决这类方程的求解问题；对于一般的线性 方程组，先引出矩阵的概念，由于矩阵与方程组一一对应，因此研究 线性方程组就转化为研究矩阵，并最终由矩阵来解决解线性方程组的 一一对应 一 对 线性方程组 矩 阵 行 列 式 向 量 组 一 一 对 应 求解公 式引出 一 应 图 1 知识篇中的四个知识点的内在联系图
方法问题,这就是用矩阵的初等行变换求解线性方程组。但矩阵理论 没能解决抽象线性方程组解的结构问题,所以必须从另外的角度来硏 究方程组,于是引出向量,且方程组与向量组一一对应。最后由向量 解决了线性方程组的解的结构问题。通过方程组作为桥梁,把矩阵和 向量组这两个看似毫不相关的概念建立了联系,而且是一一对应的关 系。所以在研究向量组时,可以充分利用矩阵这一有力工具。 3线性代数问题式教学法 3.1问题提出 线性代数研究的一个主要问题是线性方程组,可同学们已经会解 方程组了,它还有什么好研究的呢?那么请看引例1。 引例1求解方程组 x+2y-z=1 3x+y+2z=2 y+3z=1 解①×(-1)②得2x-y+3z=1,即为方程③,也就是说满 足前两个方程的解一定满足第三个方程,所以第三个方程是多余的。 于是原方程的同解方程为 X+2y-z=1 3x+y+2z=2 上述方程组中再没有多余的方程,称之为原方程组的保留方程组。在 保留方程组中有三个未知数,而只有两个方程,故有一个未知数可自 由变化,解之得
方法问题，这就是用矩阵的初等行变换求解线性方程组。但矩阵理论 没能解决抽象线性方程组解的结构问题，所以必须从另外的角度来研 究方程组，于是引出向量，且方程组与向量组一一对应。最后由向量 解决了线性方程组的解的结构问题。通过方程组作为桥梁，把矩阵和 向量组这两个看似毫不相关的概念建立了联系，而且是一一对应的关 系。所以在研究向量组时，可以充分利用矩阵这一有力工具。 3. 线性代数问题式教学法 3.1问题提出 线性代数研究的一个主要问题是线性方程组，可同学们已经会解 方程组了，它还有什么好研究的呢？那么请看引例 1。 引例 1 求解方程组 x + 2y - z = 1 ......① 3x + y+2z = 2 ......② 2x – y +3z = 1 ......③ 解 ①×(-1)+② 得 2x – y + 3z = 1，即为方程③，也就是说满 足前两个方程的解一定满足第三个方程，所以第三个方程是多余的。 于是原方程的同解方程为： x + 2y - z = 1 3x + y+2z = 2 上述方程组中再没有多余的方程，称之为原方程组的保留方程组。在 保留方程组中有三个未知数，而只有两个方程，故有一个未知数可自 由变化，解之得
=3-k (k为任意实数) k 对于一般的线性方程组 ax,+a,2x2..+a,nx, =b, b 求解时与引例1类似,也需解决以下三个问题: 1)如何判别方程组中是否有多余的方程 2)如何找保留方程组; 3)如何求解保留方程组。 线性代数研究线性方程组就是要解决这三个问题。线性代数中的 概念的引出,理论的建立主要是为了解决这三个问题。 32行列式概念的引出 我们先解决特殊的线性方程组的求解问题,即方程的个数与未知 数的个数相等,且方程组中没有多余的方程。还是从引例开始。 引例2求解方程组 ∫ax1+a2x2=b (其中ana2a12a21≠0) 解用加减消元法解之得 b a -b ana22-a a 1a22-a2a 为了记忆该求解公式,引进记号D=12-a34,并
= = + = − z k y k x k 5 1 5 3 （k 为任意实数） 对于一般的线性方程组 Ⅰ + + + = + + + = + + + = m1 1 m2 2 mn n m 21 1 22 2 2n n 2 11 1 12 2 1n n 1 a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 求解时与引例 1 类似，也需解决以下三个问题： 1)如何判别方程组中是否有多余的方程； 2)如何找保留方程组； 3)如何求解保留方程组。 线性代数研究线性方程组就是要解决这三个问题。线性代数中的 概念的引出，理论的建立主要是为了解决这三个问题。 3.2行列式概念的引出 我们先解决特殊的线性方程组的求解问题，即方程的个数与未知 数的个数相等，且方程组中没有多余的方程。还是从引例开始。 引例 2 求解方程组 + = + = 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 a x a x b a x a x b （其中 a11a22-a12a21≠0） 解 用加减消元法解之得 − − = − − = 11 22 12 21 2 11 1 21 2 11 22 12 21 1 22 2 12 1 a a a a b a b a x a a a a b a b a x 为了记忆该求解公式，引进记号 D= 21 22 11 12 11 22 12 21 a a a a a a − a a Δ ，并