第五章相似矩阵与二次型 §5.4实对称矩阵的相似对角形 实对称矩阵的性质 二、 实对称矩阵对角化的方法 三、小结
第五章 相似矩阵与二次型 §5.4 实对称矩阵的相似对角形 一、实对称矩阵的性质 二、实对称矩阵对角化的方法 三、小结
第五章相似矩阵与二次型 实对称矩阵的性质 上节讨论了一般方阵与对角形矩阵的相似问题， 现在我们来解决本章的主要问题，即如何用正交 矩阵使实对称矩阵与对角矩阵相似为此，我们 首先证明下面三个引理 引理5.4.1实对称矩阵的特征值为实数 证明设复数2为对称矩阵4的特征值，复向量x为 对应的特征向量， 即 Ax=2x,x≠0. 用几表示2的共轭复数，x表示x的共轭复向量， 则 Ax=Ax=(Ax)=(Ax)=Ax
第五章 相似矩阵与二次型 引理5.4.1 实对称矩阵的特征值为实数. 证明 , , 设复数为对称矩阵A x 的特征值 复向量 为 对应的特征向量 即 Ax = x , x 0. 用 表示的 共轭复数 , 则 Ax = Ax = = = ( ) ( ) . Ax x x x表示x的共轭复向量 , 一、实对称矩阵的性质 上节讨论了一般方阵与对角形矩阵的相似问题， 现在我们来解决本章的主要问题，即如何用正交 矩阵使实对称矩阵与对角矩阵相似.为此，我们 首先证明下面三个引理
第五章相似矩阵与二次型 于是有。 'Ax=x'(Ax)=九x=元x'x, 另外 x'Ax=xA'x=(Ax)'x=(Ax)'x=Axx 两式相减，得 (-)x'x=0. 但因为x≠0， 所以x=2x=2x≠0，→(2-刀)=0， 即九=元，由此可得2是实数
第五章 相似矩阵与二次型 于是有 = ( ) Ax x = ( ) x x x x = 两式相减，得 ( ) 0. − = x x 但因为x 0, − = ( ) 0, 即 = , 由此可得是实数. 2 1 1 0, n n i i i i i x x x x x = = 所以 = = x Ax x Ax ( ) = x x = x x , = 另外 x Ax x A x =
第五章相似矩阵与二次型 定理5.4.1的意义 由于对称矩阵A的特征值为实数，所以齐次 线性方程组 (A-,E)x=0 是实系数方程组，由A-2,E=0知必有实的基础解 系，从而对应的特征向量可以取实向量
第五章 相似矩阵与二次型 定理5.4.1的意义 , ( ) 0 , 0 , . i i i A A E x A E − = − = 由于对称矩阵 的特征值 为实数 所以齐次 线性方程组 是实系数方程组 由 知必有实的基础解 系 从而对应的特征向量可以取实向量
第五章相似矩阵与二次型 引理5.4.2实对称矩阵的不同特征值的特征向量是正交的 证明设P,P,是对称矩阵A的不同的两个特征值 2,2,的特征向量，即 Ap1=21P1,Ap2=入2P2: A=A',.1p1'=(p)'=(Ap'=P1'=P1A, 于是p1'P2=p1Ap2=p1'(22P2)=2p1P2, → (21-2p1p2=0. 元1≠22，P1P2=0.即p1与p2正交
第五章 相似矩阵与二次型 1 2 1 2 , , , p p A 设 是对称矩阵 的不同的两个特征值 的特征向量 即 证明 1 1 1 2 2 2 Ap p Ap p = = , ， A A = , 1 1 1 1 1 p p Ap ( ) ( ) = = 1 1 p A p A, = = 于是 1 1 2 1 2 1 2 2 p p p Ap p p ( ) = = 2 1 2 p p , = 1 2 1 2 − = ( ) 0. p p , 1 2 . = p p 1 2 0. 即p1与p2正交 引理5.4.2 实对称矩阵的不同特征值的特征向量是正交的