第一章函数与极限 一、填空 1、函数fx)=V3+2x-x2+Mx-2)的定义域为2<x≤3 2画藏y=2文+m-的定义城为回5利]： 3、函数f(x)= 的定义域用区间表示为x>-3」 V1n(x+4) 4、f(x)=sn刘是以一卫一为最小正周期的函数。 5、若m+2+3=2,则a=2,n=3— x3+5x+1 6、设函数y=X,则函数的可去间断点是x=0一。 sinx 入设f)=K-10 x+1x≤0 ,则x=0是f(x)的第1一类间断点。 8、设f)=3后，则x=1是f田的第二一类间断点。 9、m0+2x)=-e2· 山若=，则k=， 12、1im(l+cosx)mx=—￡—。 13、已知当x→0时，(1+ax2)5-1与1-c0sx是等价无穷小，则常数a= [sin kx 14、设f(x)= X<0连续，则k=2一 x+2,x≥0 15、设f(x)= :-1>2其中a为常数，若f)处处连续，则a=一 3 mx≤2 21
第一章 函数与极限 一、填空： 1、函数 ( ) 3 2 ln( 2) 2 f x = + x − x + x − 的定义域为 2 3 x 。 2、函数 1) 2 arcsin( 2 1 2 + − − = x x y 的定义域为 0, 2 2,4 ) ( 。 3、函数 ln( 4) 1 ( ) + = x f x 的定义域用区间表示为 x −3 。 4、 f (x) = sin x 是以 为最小正周期的函数。 5、若 2 5 1 2 3 lim 3 2 = + + + + → x x ax x n x ，则 a ＝ 2 ，n ＝ 3 。 6、设函数 x x y sin = ，则函数的可去间断点是 x ＝ 0 。 7、设 + − = 1 0 1, 0 ( ) x x x x f x ，则 x = 0 是 f (x) 的第 1 类间断点。 8、设 1 1 ( ) 3 − = x f x ，则 x =1 是 f (x) 的第 二 类间断点。 9、 x x x 1 0 lim (1+ 2 ) → ＝ 2 e 。 10、 6 9 lim 2 2 3 − − − → x x x x 的值等于 6 5 。 11、若 2 ) 1 lim ( e x x kx x = + → ，则 k ＝ 2 。 12、 tan 2 lim(1 cos ) x x x → + ＝ e 。 13、已知当 x →0 时， (1 ) 1 3 1 2 + ax − 与 1−cos x 是等价无穷小，则常数 a ＝ 3 2 。 14、设 + = 2, 0 , 0 sin ( ) x x x x kx f x 连续，则 k ＝ 2 。 15、设 − = 2 1 2 ( ) 2 ax x x x f x 其中 a 为常数，若 f (x) 处处连续，则 a ＝ 3 2
的直浙线方程为一二一、 16、曲线= 几、线”3的水平精近线方程为一少=-3一 18、设f(x)在x=1处连续，mfx)=2,则mfx)=2· 19、函数y=√4-x2+ 】的间断点为—一 x2-1 20、函数f()=e”片的间断点x=0是第二一类间断点。 21、设=站≤0 sin bx X>0在x=0处间断，则常数a与6应满足关系一—b≠a 2、设x→0时，f)与是等价无穷小，则m2x)= 2。 x+ax≤0 23、设fx)= In(x+e)x>0 且mf(x)存在，则a=1 4通数闭-织的间断点是一0：好+经 ,其中x=0 是第一类间断点，=一k红+ ,是第二类间断点。 2 二、单项选择题： 点，高数分的反活数为(D。 少= x+1 c 。y 26、设函数f(x)的定义域为[0，]，则∫(2x-)的定义域为(B)。 B. C.[0,] D.2 27、当x→0时，变量m是《D A.无穷小量 B.无穷大量 C有界但非无穷小量 D.无界但非无穷大量 28、下列等式中正确的是(C) A.lim(l-=-e B.lim(l+y=e C.lim(l+x)i=e D.lim(+x)i=e
16、曲线 1 2 + = x x y 的垂直渐近线方程为 x =−1 。 17、曲线 3 1 2 − + = x x y 的水平渐近线方程为 y = −3 。 18、设 f (x) 在 x =1 处连续， = = → − → + lim ( ) 2 lim ( ) 1 1 f x f x x x ，则 2 。 19、函数 3 2 2 1 1 4 − = − + x y x 的间断点为 1 。 20、函数 ( ) 1 x x f x e + = 的间断点 x = 0 是第 二 类间断点。 21、设 + = . 0 sin . 0 ( ) 2 x x bx a bx x f x 在 x = 0 处间断，则常数 a 与 b 应满足关系 b a 。 22、设 x → 时， f (x) 与 x 1 是等价无穷小，则 lim 2xf (x) x→ ＝ 2 。 23、设 0 ( ) ln( ) 0 x a x f x x e x + = + 且 lim ( ) 0 f x x→ 存在，则 a ＝ 1 。 24、函数 x x f x tan ( ) = 的间断点是 x = 0 ； 2 k + ，其中 x ＝0 是第一类间断点， x ＝ 2 k + 是第二类间断点。 二、单项选择题： 25、函数 1 1 + − = x x y 的反函数为（ D ）。 A． 1 1 + − = x x y B． x x y + − = 1 1 C． 1 1 − + = x x y D． x x y − + = 1 1 26、设函数 f (x) 的定义域为 [0， 1] ，则 f (2x −1) 的定义域为（ B ）。 A． ] 2 1 2 1 [− ， B． 1] 2 1 [ ， C．[0， 1] D． 1] 2 1 [− ， 27、当 x →0 时，变量 2 1 1 sin x x 是（ D ）。 A．无穷小量 B．无穷大量 C．有界但非无穷小量 D．无界但非无穷大量 28、下列等式中正确的是（ C ） A． 1 lim(1 )x x e → x − = − B． 0 1 lim(1 )x x e → x + = C． 1 0 lim (1 ) x x x e → + + = D． 1 lim(1 ) x x x e → + =
29、当x→0时，下列函数与无穷小x相比较是高阶无穷小的是(D) A.sinx B.+x C.x D.1-cosx 30、当x→0时，下列变量中(D)为无穷小 A.In B.sin C.cotx D.e月 3引、当x→1时，无穷小1-x是无穷小21-√的(C)无穷小。 A.高阶B.低阶C.等价D.同阶但不等价 32.m(F+i-F-=(A A.0 B. C.1D.2 33、imxsin的结果是(B) A.0 B.1 C.无穷大D.不存在 34、下列表达式中(B)正确 人回18回1c回学1实1 场y是，做B） A,连续点 B.可去间断点 C.跳跃间断点 D.无穷间断点 k服m在D) A.imfx)不存在 B.imf(x)不存在 C.f(x)在x1处无定义 D.limf(x)≠limf(x) 37、下列命题正确的是(C) A.有界函数乘无界函数仍是无界函数 B.无界函数乘无穷大量仍是无穷大量 C无穷小量乘任一大实数仍是无穷小量 D.两个无穷大量之和仍是无穷大量 三、求函数极限。 0、画+r 4 “(sin} -月
29、当 x →0 时，下列函数与无穷小 x 相比较是高阶无穷小的是（ D ） A．sin x B． 2 x x + C． x D．1 cos − x 30、当 x →0 时，下列变量中（ D ）为无穷小 A． ln x B． 1 sin x C．cot x D． 2 1 x e − 31、当 x →1 时，无穷小 1− x 是无穷小 2 1( − x ) 的（ C ）无穷小。 A．高阶 B．低阶 C．等价 D．同阶但不等价 32、 ( ) 2 2 lim 1 1 x x x → + − − = ( A) A．0 B． C．1 D．2 33、 1 lim sin x x → x 的结果是( B ) A．0 B．1 C．无穷大 D．不存在 34、下列表达式中( B )正确 A． 2 0 sin lim x x → x =1 B． 0 sin lim 1 x x → x = C． 2 0 sin lim 1 x x → x = D． sin lim 1 x x → x = 35、设 3 1 1 x y x − = − ,则 x=1 是函数 y 的( B ) A．连续点 B．可去间断点 C．跳跃间断点 D．无穷间断点 36、函数 1, 1 ( ) 2 , 1 x x f x x x + = − ,在 x=1 处间断是由于( D ) A． 1 lim ( ) x f x → − 不存在 B． 1 lim ( ) x f x → + 不存在 C． f x( ) 在 x=1 处无定义 D． 1 lim ( ) x f x → − 1 lim ( ) x f x → + 37、下列命题正确的是(C) A．有界函数乘无界函数仍是无界函数 B．无界函数乘无穷大量仍是无穷大量 C．无穷小量乘任一大实数仍是无穷小量 D．两个无穷大量之和仍是无穷大量 三、求函数极限。 38、 2 2 0 1 1 lim x sin x → x + − 39、 3 1 1 3 lim x→ 1 1 x x − − − =-1 40、 3 2 0 2 lim (sin ) 2 x x x → x + =4 41、 2 2 2 5 lim x 3 1 x x → x x + + − + 1 3 =
42、职0-6os2 43、lm2”sin兰=x sin2x 四、解答与应用。 46、设，m(R-x+1-ar-b)-0,试确定常数a和b =a小=到0 =(a (N2-x+1-x-x+1+x b=lim (x+1)=lim -x+1 (NF2-x+1+x 47、将下列复合函数分解成几个简单函数。 (1)y=2arcsin(1-x) y=2arcsinu,u=v;v=1-x 2)y=gR+2 y=Eu=lgg=回，w=x+2x 4设=+求2) 7护e 五、证明。 49、证明方程x+3x2-3=0在(0,1)内至少有一个根： 证明：显然fx)=x+3x2-3eC0,】,又f0)=-3<0,f)=1>0, 故据零点定理，至少存在一点5∈0，)，使f)=0,即+3-3=0 50、设函数f(x)在[0,2d上连续，f(0)=f(2a）,试证方程f(x)=f(x+a)在[0，ad内 至少有一个实根： 证明：令p(x)=f(x+a)-(x),显然p(x)∈C[0,a
42、 0 (1 cos 2 ) lim x tan sin x x → x x − − =4 43、 lim 2 sin 2 n n n x → = x 44、 0 ln(1 3 ) lim x sin 2 x → x − 3 2 =− 45、 3 0 sin 2 2sin lim x x x → x − =-1 四、解答与应用。 46、设 ( ) 2 lim 1 x x x ax b →+ − + − − =0，试确定常数 a 和 b ( ) 2 2 2 1 1 lim 1 lim 1 0 1 1 lim 1 0 x x x b x x ax b x a x x x b a a x x x →+ →+ →+ − + − − = − + − − = − + − − = ，故 =1 则 ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 1 1 lim 1 lim = lim 2 1 1 x x x x x x x x x x b x x x x x x x x x →+ →+ →+ − + − − + + − + = − + − = = − − + + − + + 47、将下列复合函数分解成几个简单函数。 （1） 3 y x = − 2arcsin(1 ) 3 y u u v v x = = = − 2arcsin ; ; 1 （2） 1 2 lg 2 2 y x x = + 1 2 ; lg ; , 2 2 y u u v v x x = = = = + 48、设 ( ) lim 1 xt t f x t → = + ，求 f (ln 2) ( ) lim 1 lim 1 t xt x x t t f x e t t → → = + = + = ; ( ) ln2 f e ln 2 2 = = 五、证明。 49、证明方程 5 3 x x + − = 3 3 0 在（0，1）内至少有一个根； 证明|：显然 5 3 f x x x C ( ) 3 3 [0,1] , = + − 又 f (0) 3 0, = − f (1) 1 0, = 故据零点定理, 至少存在一点 (0,1), 使 f ( ) 0, = 即 5 3 + − = 3 3 0 50、设函数 f x( ) 在 0,2a 上连续， f f a (0 2 ) = ( ) ，试证方程 f x f x a ( ) = + ( ) 在 0,a 内 至少有一个实根； 证明：令 ( ) ( ) ( ) , x f x a f x = + − 显然 ( ) [0, ], x C a
p(o)o(ad=[f(a)-f(o)][f(2a)-f(a)]=[f(a)-f(o)][f(o)-f(a]s0 当f(a)-f(0)-0时，取5=0或a,:当f(a)-f(o)≠0时 故据零点定理，至少存在一点5e(0,1,使5)=0， 即，方程f(x)=f(x+a)在[0，a内至少有一个实根：
(0) ( ) 0 2 0 0 0 a f a f f a f a f a f f f a = − − = − − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 当 f a f ( ) − (0) =0 时，取 = 0 , 或a ；当 f a f ( ) − (0 0 ) 时 故据零点定理, 至少存在一点 (0,1), 使 ( ) 0, = 即，方程 f x f x a ( ) = + ( ) 在 0,a 内至少有一个实根；