第四章线性方程组 §4.2齐次线性方程组 齐次线性方程组的性质 二 、基础解系及其求法 三、小结
第四章 线性方程组 三、小结 二、基础解系及其求法 一、齐次线性方程组的性质 §4.2 齐次线性方程组
第四章线性方程组 齐次线性方程组解的性质 设有齐次线性方程组 01X1+012X2+.+41nXn=0 21K1+22X2+.+2mXn=0 (4-5) ml1+0m2X2+.+AmnXn=0 若记 11 12 n 七 A= l24 L22 A2n Am Am2 心 n
第四章 线性方程组 设有齐次线性方程组 + + + = + + + = + + + = 0 0 0 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 m m mn n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x 若记 （4-5） 一、齐次线性方程组解的性质 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 , n n m m mn n a a a x a a a x A x a a a x = =
第四章线性方程组 则上述方程组(4-5)可写成向量方程 Ax=0 (4-6) 若x1,x2,.,x,为方程(4-5)的解，则 X X2 x= Xn 为方程(4-6)的解向量，也就是方程 (4-5)的解向量
第四章 线性方程组 则上述方程组（4-5）可写成向量方程 Ax = − 0 (4 6) 1 2 1 2 , , , (4 5) (4 6) (4 5) n n x x x x x x x − = − − 若 为方程 的解，则 为方程 的解向量，也就是方程 的解向量
第四章线性方程组 性质4.2.1两个解向量的和仍然是解向量，即 设5,5是方程组(4-5)的解向量，则5+5也 是方程组(4-5)的解向量. 证明」 只需证明5+5满足方程组(4-6)即可 A5=0,A52=0 ∴.A(51+52)=A51+A52=0 故=51+52也是Ax=0的解
第四章 线性方程组 1 2 1 2 , (4 5 4.2. ) (4 5 1 ) − + − 两个解向量的和仍然是解向量，即 设 是方程组 的解向量， 性质 则 也 是方程组 的解向量. 证明 A( 1 + 2 ) = A 1 + A 2 = 0 A 1 = 0, A 2 = 0 故 x 也是Ax 0的解. = 1 + 2 = 只需证明 1 2 + 满足方程组(4 6) − 即可
第四章线性方程组 性质4.2.2一个解向量的倍数仍是解向量，即 设5是方程组(4-5)的解向量，1是任意数， 则25也是方程组(4-5)的解向量。 证明A(25)=九A(5)=20=0. ∴.入5也是方程组(4-5)的解向量 由性质4.2.1、4.2.2知，齐次线性方程组(4-5)的 解向量的线性组合仍是(4-5)的解向量. 设51,52，5m,是方程组(4-5)的解向量，22，.几n-, 是任意数，则入51+2,52+.+入n-,5m-仍是方程组 (4-5)的解向量
第四章 线性方程组 (4 5) (4 5 . .2 ) 4 2 − − 一个解向量的倍数仍是解向量，即 设 是方程组 的解向量， 是任意数， 则 性质 也是方程组 的解向量. 证明 A A ( 1 1 ) = = = ( ) 0 0. − 也是方程组(4 5)的解向量 由性质4.2.1、4.2.2知，齐次线性方程组(4-5)的 解向量的线性组合仍是(4-5)的解向量 . 1 2 1 2 1 1 2 2 , , , (4 5) , , (4 5) n r n r n r n r − − − − − + ++ − 设 是方程组 的解向量， 是任意数，则 仍是方程组 的解向量