第五章相似矩阵与二次型 引理5.4.3设为阶对称矩阵，几是A的特征方程的r 重根，则矩阵A-入E的秩为-r,从而对应特征值2恰有 个线性无关的特征向量， 定理5.4.1设A为阶实对称矩阵，则必有正交矩阵P,使 P-1AP=Λ， 其中△是以A的个特征值为对角元素的对角矩阵， 证明设4的的互不相等的特征值为入，入，.，入， 它们的重数依次为r,2,.,(G+2++r,= 根据引理5.4.1（对称矩阵的特征值为实数）和引 理5.4.3（如上）可得：
第五章 相似矩阵与二次型 1 , , 5.4. , . 1 A n P P AP A n − = 设 为 阶实对称矩阵 则必有正交矩阵 使 其中 是以 的 个特征值为对角元素的对 理 角矩阵 定 证明 1 2 , , , , 设A的的互不相等的特征值为 s 1 2 1 2 , , , ( ). s s 它们的重数依次为r r r r r r n + + + = , , 5.4.3 , . A n A r A E n r r − − 设 为 阶对称矩阵 是 的特征方程的 重根 则矩阵 的秩为 从而对应特征值 恰有 个线性无关的特 引 征向量 理 根据引理5.4.1(对称矩阵的特征值为实数)和引 理5.4.3( 如上)可得：
第五章相似矩阵与二次型 对应特征值2(i=1,2,.,S),恰有r个线性无 关的实特征向量，把它们正交化并单位化，即得个 单位正交的特征向量而由(5++.+，=)知， 这样的特征向量共有个， 由引理5.4.2知对应于不同特征值的特征向量正交， 故这个单位特征向量两两正交 以它们为列向量构成正交矩阵P,则 PAP=P-PA=A 其中对角矩阵A的对角元素含个2，.，”，个入，恰 是A的个特征值
第五章 相似矩阵与二次型 由引理5.4.2知对应于不同特征值的特征向量正交， 故这n个单位特征向量两两正交. 1 2 ( 1,2, , ), , , . ( ) . i i i s i s r r r r r n n = + + + = 对应特征值 恰有 个线性无 关的实特征向量 把它们正交化并单位化 即得 个 单位正交的特征向量 而由 知， 这样的特征向量共有 个 = = − − P AP P P 1 1 1 1 , , , . s s r r A n 其中对角矩阵的对角元素含 个 个 恰 是 的 个特征值 以它们为列向量构成正交矩阵P，则
第五章相似矩阵与二次型 二、实对称矩阵对角化的方法 根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化 为对角矩阵，其具体步骤为： 1.求A的特征值 2.由(A-2,E)=0,求出4的特征向量； 3.将特征向量正交化； 4.将特征向量单位化. 5.以特征向量为列向量写出正交矩阵
第五章 相似矩阵与二次型 根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化 为对角矩阵，其具体步骤为： 3.将特征向量正交化; 4.将特征向量单位化. 2. ( ) 0, ; 由 A E x A − = i 求出 的特征向量 二、实对称矩阵对角化的方法 5.以特征向量为列向量写出正交矩阵. 1.求A的特征值
第五章相似矩阵与二次型 例1设A= 0 0 3 求正交矩阵P,使PAP为对角形矩阵 解 ()第一步求A的特征值 4-元 0 0 A-AE= 0 3-1 =(2-2)(4-)2, 0 13-九 得特征值21=2，入=几3=4
第五章 相似矩阵与二次型 − − − − = 0 1 3 0 3 1 4 0 0 A E 2 = − − (2 )(4 ) , 2, 4. 得特征值 1 = 2 = 3 = 1 4 0 0 1 0 3 1 0 1 3 . A P P AP − = 例 设 ， 求正交矩阵 ，使 为对角形矩阵 解 (1)第一步 求A的特征值
第五章相似矩阵与二次型 (2)第二步由(A-2E)x=0,求特征值2，对应的特征向量 0 对2=2，由(A-2E)x=0,得基础解系51= 1 -1 对人，=2=4，由(A-4E)x=0,得基础解系 n.5 52与53恰好正交， 0 所以5,52,5两两正交
第五章 相似矩阵与二次型 (2) 0, 第二步 由( A E x − = i i ) 求特征值 对应的特征向量 1 1 0 2, ( 2 ) 0, 1 1 A E x = − = = − 对 由 得基础解系 2 3 2 3 4, ( 4 ) 0, 1 0 0 1 , . 0 1 A E x = = − = = = 对 由 得基础解系 , 2与 3恰好正交 , , . 所以 1 2 3两两正交