第五章相似矩阵与二次型、 §5.6 正定二次型 正定二次型的概念 正定二次型的判定 负定二次型的概念 四、小结思考题
第五章 相似矩阵与二次型 §5.6 正定二次型 二、正定二次型的判定 三、负定二次型的概念 四、小结 思考题 一、正定二次型的概念
第五章相似矩阵与二次型 一、】 正定二次型的概念 定义5.6.1设f=XAX为实二次型，如果对任意 维列向量X≠0，都有f=XAX>0,则称f=X'AX为 正定二次型，并称对称矩阵A是正定矩阵；如果对任 意维列向量X≠0，都有f=X'AX≥0，则称f=X'AX 为半正定二次型，并称对称矩阵A是半正定矩阵。 例如∫=x好+号+.+房 为正定二次型 f=+x3+.+x(r<)为半正定二次型
第五章 相似矩阵与二次型 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 ( ) n r f x x x f x x x r n = + + + = + + + 例如 为正定二次型 为半正定二次型 , 0, 0, , ; 0, 0, 5.6.1 , . f X AX n X f X AX f X AX n X f X AX f X A A AX = = = = = 设 为实二次型 如果对任意 维列向量 都有 则称 为 正定二次 并称 如果对任 意 维列向量 都有 则称 为 对称矩阵 是正定矩阵 对称矩阵 型 半正定二 是半正 定 次型 并称 定矩阵 义 一、正定二次型的概念
第五章相似矩阵与二次型 二、正定二次型的判别 定理5.6.1实二次型f=XAX为正定的充分必要条件 是其标准形(5-13)式中个系数全大于零 证：设二次型f=XAX经可逆线性变换 X=CY化为标准形f=+2房+.+九y月 充分性： 若2>0(i=1,2,m),对于任意的X≠0，则有 Y=C-1X≠0 故f(X)=f(CY)=y+22Jy吃+.+Jy元>0 即二次型正定
第五章 相似矩阵与二次型 二、正定二次型的判别 (5 13) . 5.6.1 f X AX n = − 实二次型 为正定的充分必要条件 是其标准形 式中 个系数全 定 大于零 理 2 2 2 C 1 1 2 2 n n f X AX X Y f y y y = = = + + + 证:设二次型 经可逆线性变换 化为标准形 充分性 : 1 0( 1,2, , ) 0 0 i i n X Y C X − = = 若 ，对于任意的 ，则有 2 2 2 1 1 2 2 ( ) ( ) 0 n n 故 f X f CY y y y = = + + + 即二次型f正定
第五章相似矩阵与二次型 必要性（反证法） 假设存在某个2，≤0，取Y=e,(单位向量)， 当X=Ce、≠0，则有f(X)=f(Ce,)=元，≤0. 上式与f为正定二次型矛盾，因而2>0(i=1,2,m), 推论1对称矩阵A为正定的充分必要条件是A的 特征值全为正。 推论2实二次型f=X'AX为正定的充分必要条件 是它的规范标准形为f=y+y+.+y
第五章 相似矩阵与二次型 必要性(反证法) 0 ( ) 0 ( ) ( ) 0. s s s s s Y e X Ce f X f Ce = = = = 假设存在某个 ，取 单位向量 ， 当 ，则有 0( 1,2, , ). i 上式与f i n 为正定二次型矛盾，因而 = 推论1 对称矩阵A为正定的充分必要条件是A的 特征值全为正. 2 2 2 1 2 2 n f X AX f y y y = = + + + 实二次型 为正定的充分必要条件 是它的规范标准形为 推论
第五章相似矩阵与二次型 推论3实二次型f=X'AX为正定则A>0. 因为A正定，所以二次型f=XAX正定，经可逆线性 变换X=CY化为标准形f=2+2y+.+九y员 由定理5.6.1知，2，>0(i=1,2,),又因 0 022 C'AC=A= 0 所以CAC=ClA=A=22.2n>0 而C≠0，故A>0
第五章 相似矩阵与二次型 推论3 实二次型f X AX A = 为正定则| | 0. 2 2 2 1 1 2 2 n n A f X AX X CY f y y y = = = + + + 因为 正定，所以二次型 正定，经可逆线性 变换 化为标准形 1 2 5.6.1 0( 1,2, , ) 0 0 0 0 0 0 i n i n C AC = = = 由定理 知， ，又因 2 1 2 0 C AC C A n 所以| | | || | | | = = = 而| |C A 0 0. ，故| |