《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，B）第二章 矩阵与向量 §2.3 向量组的线性相关性

第二章矩阵与向量 §2.3 向量组的线性相关性 线性相关性的概念 3、 线性相关性的判定 三、 向量组的等价 四、向量组的最大无关组 五、向量空间的基与向量的坐标 六、小结

第二章 矩阵与向量 六、小结 二、线性相关性的判定 一、线性相关性的概念 §2.3 向量组的线性相关性 五、向量空间的基与向量的坐标 三、向量组的等价 四、向量组的最大无关组

第二章矩阵与向量 一、线性相关与线性无关的概念 定义2.3.1对于向量%1，am和a, 若存在个数 21,2,.,m，使得： a=1a1+2g2+.+九mncm 则称是1，必2，m的线性组合，几1,2·，m称为组 合系数，或称向量a能用向量组，2，m线性表示 显然，零向量是任何一组向量的线性组合

第二章 矩阵与向量 一、线性相关与线性无关的概念 定义2.3.1 对于向量1 ,2 ,., m 和，若存在m个数 1 ,2 ,. ,m ，使得：  = 11 + 22 + .+ mm 则称是1 ,2 ,.,m 的线性组合，1 ,2 ,. ,m 称为组 合系数,或称向量能用向量组1 ,2 ,.,m线性表示 . 显然，零向量是任何一组向量的线性组合

第二章矩阵与向量 例1设n维向量 61=(1,0,.,0) 62=(0,1,.,0) 6n=(0,0,.,1) a=(41,42,an)是任意一个n维向量，由于 0=4181+0282+.+0n8m 所以a是61,82，.，8的线性组合. 通常称61,62，6n为n维单位坐标向量组. 同维数的向量所组成的集合称为向量组

第二章 矩阵与向量 1 2 1 2 1 (1,0, ,0) (0,1, ,0) (0,0, ,1) ( , , , ) n n n a a a n     =  =  =  =  例 设 维向量 是任意一个 维向量，由于 1 1 2 2 1 2 , , , . n n n     a a a     = + ++ 所以 是  的线性组合 同维数的向量所组成的集合称为向量组. 通常称 1 2 , , , n     为n维单位坐标向量组

第二章矩阵与向量 例2证明向量a=(0,4,2)是向量=(1,2,3)， 02=(2,3,1),a3=(3,1,2)的线性组合，并将 用a,a2,线性表示。 解：先假定=1+2242+即 0,4,2)=2(1,2,3)+元2(2,3,1)+2(3,1,2) =(2+222+323,22+322+3,32+22+223) 因此 21+222+32=0, 22+3元2+九3=4， 32+22+223=2

第二章 矩阵与向量 1 2 3 1 2 3 2 (0,4,2) (1,2,3) (2,3,1) (3,1,2) , , .         = = = = 例 证明向量 是向量 ， ， 的线性组合，并将 用 线性表示 1 2 3 (0,4,2) (1,2,3) (2,3,1) (3,1,2) = + +    1 2 3 1 2 3 1 2 3 = + + + + + + ( 2 3 ,2 3 ,3 2 )          因此 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 0, 2 3 4, 3 2 2.           + + =   + + =  + + =  解：先假定        = + + 1 1 2 2 3 3， 即

第二章矩阵与向量 由于该线性方程组的系数行列式 2 3 2 3 1=-18≠0， 3 1 2 由克拉默法则知，方程组有唯一的解，可以求出 2=1,九2=1,23=-1 于是a可表示为C=01+02一03

第二章 矩阵与向量 由于该线性方程组的系数行列式 1 2 3 2 3 1 18 0, 3 1 2 = −  由克拉默法则知，方程组有唯一的解，可以求出 1 2 3    = = = − 1, 1, 1 于是可表示为     = + − 1 2 3