第八章微分方程 一、填空题 1.微分方程y+sny-y=0的阶数是 -=g(g是常数 d 2 0=0 叫做常微分方程的一个 问题。 3.微分方程y=2y+1)x的通解为 4.微分方程y”-2y+2y=0的通解为 5方程)了-少-2y=有特解%=分+子方程-少-2y=0s2x有转解 为=20血2x-200s2,那么方程y-y-2y=x+60s2x有特解 6.方程y+y=e有特解=e,则其通解为 。 7.通解为y=ce+x的微分方程是 8.以y=(G,+C2x)为通解的二阶常系数线性齐次方程为 9.设乃(x),y,(x)是二阶常系数线性微分方程y“+py+q少=0的两个线性无关解， 则它的通解为 二、单选题 1.下列微分方程中，属于一阶线性微分方程的是() A.xy'+yh(x+1)=e'B.y'+ey=1 C.yy'+ytanx=x D.y+2xy2 =Inx 2.下列微分方程中，属于二阶线性微分方程的是( A.y'+yy'=sinx B.y'+e"y'+y=x csmw++y=e。y+y+x+n=l 3.微分方程y+y=2x的一个解为() A.y=cosx B.y=1+x C.y=x2-2x D.y=e 4.若y=f(x)是y+p(x)y=0的解，又y=g(x)是y+p(x)y=q(x)的解，其中
第八章 微分方程 一、填空题 1．微分方程 sin 0 5 y + y − xy = 的阶数是_。 2． = = = = = 0 0 ( ) 0 0 2 2 t t dt ds s g g dt d s 是常数 叫做常微分方程的一个_问题。 3．微分方程 y = 2( y +1)x 的通解为_。 4．微分方程 y − 2y + 2y = 0 的通解为_。 5．方程 y − y − 2y = x 有特解 4 1 2 1 y1 = − x + ，方程 y − y − 2y = cos 2x 有特解 y x cos 2x 20 3 sin 2 20 1 2 = − − ，那么方程 y − y − 2y = x + cos 2x 有特解_ 。 6．方程 x y + y = e 有特解 x y e 2 1 1 = ，则其通解为_。 7．通解为 y ce x x = + 的微分方程是_。 8．以 x y (c c x)e = 1 + 2 为通解的二阶常系数线性齐次方程为_。 9．设 ( ) 1 y x ， ( ) 2 y x 是二阶常系数线性微分方程 y + py + qy = 0 的两个线性无关解， 则它的通解为_。 二、单选题 1．下列微分方程中，属于一阶线性微分方程的是（ ） A． x xy + y ln( x +1) = e B． y + e y = 1 xy C． yy + y tan x = x D． y 2xy ln x 2 + = 2．下列微分方程中，属于二阶线性微分方程的是（ ） A． y + yy = sin x B． y e y y x xy + + = C．sin ( ) ln y x xy y e x + + = D． y + y + (x + y) = 1 3．微分方程 y + y = 2x 的一个解为（ ） A． y = cos x B． y x = +1 C． y x 2x 2 = − D． x y e − = 4．若 y = f (x) 是 y + p(x) y = 0 的解，又 y = g(x) 是 y + p(x) y = q(x) 的解，其中
q(x)≠0，k为任意常数，则(）是y'+p(xy=q(x)的解。 A.y=kf(x)+g(x) B.y=f(x)+kg(x) C.y=k[f(x)+g(x)] D.y=kLfx)-g(x】 5.若片，乃是二阶齐次线性方程y+p(x)y+g(x)y=0的两个解，G,C2为任意常 数，则y=Gy+C2乃2( A.是该方程的通解 B.是该方程的解 C.是该方程的特解 D.不一定是该方程的解 6.微分方程y”+2y'-3y=0的通解是( )(C,C2为任意常数 A.c cosx+c sin(-3x) B.C cos(-3x)+c2 sin x C.ce+ce D.x(ce +cze*) 7.微分方程y+y=0的通解是（ ）(G1,C为任意常数 A.y=c cosx+Cz sinx B.y=ce*+cze2 C.y=(c+cx)e D.y=ce*+ce 8.方程y'-3y+2y=e2“sinx的一个特解形式是( )(其中A,B为待定系数) A.Ae2x sinx B.Axe2*sin x+Bxe2 cosx C.Ae sin x+Be cosx D.Ae2 cosx 9.方程y"+3y'+2y=e*+sn2x的一个特解形式为( )(其中A,B,C为待 定系数) A.Ae+Bsin 2x B.Ae*+Bsin 2x+Ccos2x C.Axe-*+Bsin 2x D.Axe*+Bsin 2x+Ccos2x 三、解答题： 1.指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解： (1)y'=2y,y=5x2 (2)(y+x)d+x=0,y=c2-x2(C是常数) (3)y"-2y'+y=0,y=xe
q(x) 0，k 为任意常数，则（ ）是 y + p(x) y = q(x) 的解。 A． y = kf (x) + g(x) B． y = f (x) + kg(x) C． y = k[ f (x) + g(x)] D． y = k[ f (x) − g(x)] 5．若 1 y , 2 y 是二阶齐次线性方程 y + p(x) y + q(x) y = 0 的两个解， 1 c , 2 c 为任意常 数，则 1 1 2 2 y = c y + c y （ ） A．是该方程的通解 B．是该方程的解 C．是该方程的特解 D．不一定是该方程的解 6．微分方程 y + 2y − 3y = 0 的通解是（ ）（ 1 c , 2 c 为任意常数） A． cos sin( 3 ) 1 2 c x + c − x B．c cos( 3x) c sin x 1 − + 2 C． x x c e c e2 3 1 + − D． ( ) 2 3 1 x x x c e + c e − 7．微分方程 y + y = 0 的通解是（ ）（ 1 c , 2 c 为任意常数） A． y c cos x c sin x = 1 + 2 B． x x y c e c e 2 = 1 + 2 C． x y (c c x)e = 1 + 2 D． x x y c e c e − = 1 + 2 8．方程 2 3 2 sin x y y y e x − + = 的一个特解形式是（ ）（其中 A，B 为待定系数） A． Ae x x sin 2 B． Axe x Bxe x x x sin cos 2 2 + C． Ae x Be x x x sin cos 2 2 + D． Ae x x cos 2 9．方程 y y y e x x + 3 + 2 = + sin 2 − 的一个特解形式为（ ）（其中 A，B，C 为待 定系数） A． Ae B x x + sin 2 − B． Ae B x C x x + sin 2 + cos 2 − C． Axe B x x + sin 2 − D． Axe B x C x x + sin 2 + cos 2 − 三、解答题： 1．指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解： （1） xy = 2y ， 2 y = 5x （2） ( y + x)dx + xdy = 0， 2 2 y = c − x （C 是常数） （3） y − 2y + y = 0， x y = xe
2.求下列微分方程的通解 (1)(1+xy=2ey-1 2》话，血=0 3.求满足所给初始条件的特解 (1)y+y=y2,0)=0.5 2》cs达+0+e)mw=0,0-日 4.求下列齐次方程的通解和特解 ①re (2)xy+xtan-y=0 (3)y+Vx2+y2)d-x=0y0=0 5.求一阶微分方程的通解和特解： (1)y+=shx (2)(x2-10y'-xy+a=0 81210=0 (4)y'+y-e=0)=0 6.求一曲线，使其每点处的切线斜率为2x+y,且过点(0,0)。 7.求二阶常系数齐次微分方程的解 (1)y-3y+2y=0 (2)y-6y+9y=0 (3)y”-2y+2y=0 (4)y°-3y-4y=00)=1y'0)=-5 8.求己给非齐次方程的解 (1)y+5y'+4y=3-2x (2)y°+y-2y=8sin2x
2．求下列微分方程的通解 （1） (1+ ) = 2 −1 − y x y e （2） 0 1 1 = + − + dy x y dx y x 3．求满足所给初始条件的特解 （1） 2 xy + y = y ， y(1) = 0.5 （2） cos + (1+ )sin = 0 − ydx e ydy x ， 4 (0) y = 4．求下列齐次方程的通解和特解 （1） x y e x y y = + （2） + tan − y = 0 x y xy x （3） ( ) 0 2 2 y + x + y dx − xdy = y(1) = 0 5．求一阶微分方程的通解和特解： （1） x x y y + = sin （2） ( 1) 0 2 x − y − xy + a = （3） 1 1 2 2 = − + y x x y y(1) = 0 （4） + − = 0 x xy y e y(1) = 0 6．求一曲线，使其每点处的切线斜率为 2x + y ，且过点（0，0）。 7．求二阶常系数齐次微分方程的解 （1） y − 3y + 2y = 0 （2） y − 6y + 9y = 0 （3） y − 2y + 2y = 0 （4） y − 3y − 4y = 0 y(0) = 1 y (0) = −5 8．求已给非齐次方程的解 （1） y + 5y + 4y = 3 − 2x （2） y + y − 2y = 8sin 2x
(3)2y'+y'-y=2e (4)y"+4y=xcosx (5)y+y'-2y=2x0)=0:y'(0)=1 (6)y+2y'+2y=xey(0)=0:y'(0)=0
（ 3 ） x 2 y + y − y = 2 e （ 4 ） y + 4 y = x cos x （ 5 ） y + y − 2 y = 2 x y ( 0 ) = 0 ； y ( 0 ) = 1 （ 6 ） x y y y xe − + 2 + 2 = y(0) = 0 ； y ( 0 ) = 0