第五章相似矩阵与二次型 §5.3 相似矩阵 方阵的相似 二、 方阵可对角化的条件 三、小结
第五章 相似矩阵与二次型 §5.3 相似矩阵 一、方阵的相似 二、方阵可对角化的条件 三、小结
第五章相似矩阵与二次型 一、相似矩阵与相似变换的概念 定义5.3.1 设A,B都是阶矩阵，若有可逆矩阵P,使 PAP=B, 则称B是A的相似矩阵，或说矩阵A与B相似.对A进 行运算PAP称为对A进行相似变换，可逆矩阵P 称为把A变成B的相似变换矩阵
第五章 相似矩阵与二次型 1 1 , , , , 5.3.1 , . , . A B n P P AP B B A A B A P AP A P A B − − = 设 都是 阶矩阵 若有可逆矩阵 使 则称 是 的 或说矩阵 与 相似 对 进 行运算 称为对 进行 可逆矩阵 称为把 变 相似 成 的 矩阵 相似变换 相 定 似变换矩阵 义 一、相似矩阵与相似变换的概念
第五章相似矩阵与二次型 相似矩阵与相似变换的性质 1.等价关系 ()自反性A与A本身相似； (2)对称性A与B相似，则B与A相似； (3)传递性A与B相似，B与C相似，则A与C相似. 2.P-(AA)P=(PAP)(PAP). 3.若A与B相似，则Am与Bm相似(m为正整数) 4.P(k 4+k4)P=k P-AP+kPAP 其中k,k,是任意常数
第五章 相似矩阵与二次型 1. 等价关系 1 1 1 1 2 1 2 2. ( ) ( )( ). P A A P P A P P A P − − − = 3.若A与B相似,则A 与B 相似(m为正整数). m m 相似矩阵与相似变换的性质 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 4. ( ) , . P k A k A P k P A P k P A P k k − − − + = + 其中 是任意常数 (1)自反性 A与A本身相似； (2)对称性 A与B相似，则B与A相似； (3)传递性 A与B相似，B与C相似，则A与C相似
第五章相似矩阵与二次型 定理5.3.1若阶矩阵A与B相似，则A与B的特征多项 式相同，从而A与B的特征值亦相同. 证明A与B相似→可逆阵P,使得PAP=B ∴B-E=P-AP-P-(E)P =P-1(A-E)P =P-A-AE P =A-AE
第五章 相似矩阵与二次型 证明 1 A B P P AP B , 与 相似 = 可逆阵 使得 − B E P AP P (E)P −1 −1 − = − = P (A − E)P −1 = P A− E P −1 = A − E . 5.3.1 , , . n A B A B A B 若 阶矩阵 与 相似 则 与 的特征多项 式相同 从而 与 的特征值 定 亦相同 理
第五章相似矩阵与二次型 推论1若阶方阵与对角阵 M Λ= 相似，则2,22，2即是4的个特征值。 推论2若n阶方阵A与B相似，则Tr(A)=Tr(B), 一般地，方阵A与对角阵相似，我们就称方阵A可 对角化
第五章 相似矩阵与二次型 1 2 1 2 , , , , . 1 n n n A n = 推 若 阶方阵与对角阵 相似 则 即是 的 个特征值 论 推论2 若n阶方阵A与B相似，则Tr(A)=Tr(B). 一般地，方阵A与对角阵相似，我们就称方阵A可 对角化