沈阳师范大学：《高等数学》课程教学课件（讲稿）第4章 不定积分 4.3 定积分的换元积分法与分部积分法

例2I'Vi- x? dx .计算解令x=sint(0≤x≤1)，则dx= costdt元当x=0时，{=0；当x=1时，{=．于是1+cos2tI'Vi-xdx = [cost.costdtdt2JO元元sin2t22410

． 计算 . 1 2 0 1 x dx  1 2 2 0 0 1 x dx cost costdt       2 0 1 cos 2 2 t dt     1 sin 2 ( ) 2 2 2 0 t t    4   ． 例2

若f(x)在[-a,al上连续，证明例3①f(x)为偶函数，则F", f(x)dx = 2f" f(x)dx ;②f(x)为奇函数，则["f(x)dx =0证 ", (x)dx = J°. f(x)dx+ J" (x)dx,在[f(x)dx中令x=-t

证 ( ) ( ) ( ) , 0 0      a a a a f x dx f x dx f x dx 在 0 ( ) a f x dx中令x  t, 例3

f f(x)dx =- f° f(-t)dt =J" f(-t)dt,①f(x)为偶函数，则 f(-t)= f(t)" J(x)dx = f" (x)dx + f" f(x)dxJ°f(-t)dt +J f(t)dt =2f" f(t)dt;②f(x)为奇函数，则f(-t)=-f(t)" f(x)dx = J" f(x)dx + f" f(x)dx= 0

  0 ( ) a f x dx     0 ( ) a f t dt ( ) , 0  a f t dt ① f ( x)为偶函数，则 f (t)  f (t),      a a a a f x dx f x dx f x dx 0 0 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ; 0  a f t dt ② f ( x)为奇函数，则 f (t)   f (t),      a a a a f x dx f x dx f x dx 0 0 ( ) ( ) ( )  0. 0 ( ) a  f t dt  0 ( ) a  f t dt 