沈阳师范大学：《高等数学》课程教学课件（讲稿）第3章 中值定理与导数的应用 3.3 泰勒公式

8 3.3泰勒公式理论分析用多项式近似表示函数一应用近似计算泰勒公式的建立一、二、几个初等函数的麦克劳林公式

§3.3 泰勒公式 二、几个初等函数的麦克劳林公式 一 、泰勒公式的建立 用多项式近似表示函数 — 应用 近似计算 理论分析

一、泰勒公式的建立在微分应用中已知近似公式：yy= f(x)f(x) ~ f(xo)+ f'(xo)(x -xopi(x)p(x)x的一次多项式+x0特点: pi(xo) = f(xo)Xo x以直代曲pi(xo) = f'(xo)如何提高精度？需要解决的问题如何估计误差？

特点: ( ) 1 0 p  x ( ) 0  f x ( ) 0  f  x 一、泰勒公式的建立 f (x) x y y  f (x) o ( ) ( )( ) 0 0 0  f x  f  x x  x ( ) 1 p x 以直代曲 0 x ( ) 1 p x ( ) 1 0 p x 在微分应用中已知近似公式 : 需要解决的问题 如何提高精度 ? 如何估计误差 ? x x 的一次多项式

多项式P,(x)的确定设函数(x)在含x的开区间内具有直到(n+1)阶导数我们希望找出一个关于(x-xo)的n次多项式P(x)=ao+a;(x-xo)+a2(x-xo)2+ . . : +an(x-xo)n来近似表达f(x).我们自然希望P,(x)与(x)在xo的各阶导数(直到(n+1)阶导数）相等：f(xo)=Pn(xo),f'(xo)=Pn'(xo),f "(xo)=Pn"(xo)f"(xo)=Pn"(xo),f (n)(xo)=Pn(n)(xo)

设函数f(x)在含x0的开区间内具有直到(n1)阶导数, 我们希望找出一个关于(xx0)的n次多项式 Pn(x)a0a1(xx0)a2(xx0) 2    an(xx0) n 来近似表达f(x). 我们自然希望Pn(x)与f(x)在x0的各阶导数 (直到(n1)阶导数)相等: f(x0)Pn(x0), f (x0)Pn (x0), f (x0)Pn (x0), f (x0)Pn (x0),      , f (n)(x0)Pn (n)(x0). •多项式Pn(x)的确定

多项式系数的确定ao=f(xo),f(xo)=Pn(xo) =ao,ai=f'(xo),f'(xo)=Pn(xo) =ai,2=1"(),f"(xo)=Pn"(xo) =2!a2="(x0),f"(xo)=Pn"(xo)=3!a3:f(n)(xo)f(n)(xo)=Pn(n)(xo)= n!an2Pn(n)(x)=n!an

Pn(x)a0a1(xx0) a2(xx0) 2     an (xx0) n P , n (x) a12a2(xx0)     nan (xx0) n1 P , n (x)2a2 32a3(xx0)     n(n1)an (xx0) n2 P , n (x)3!a3432a4(xx0)      n(n1)(n2)an (xx0) n3 P , n (n)(x)n!an . •多项式系数的确定 a0 , a0  f(x0), a1 , a1  f (x0), 2!a2 , 3!a3 ,      , f(x0)Pn(x0) f (x0)Pn (x0) f (x0)Pn (x0) f (x0)Pn (x0) f (n)(x0)Pn (n)(x0)  n!an .      , ( ) 2! 1 2 0 a  f  x , ( ) 3! 1 3 0 a  f  x , ( ) ! 1 0 ( ) f x n a n n 

多项式系数的确定c(k)(xo)(k=0,1,2,. . -,n).kl于是所求多项式为Pn(x)=ao+a(x-xo)+a2(x-xo)2+ : . . +an(x-xo)n=x0)+f(x0)(x-x0)+"(x0)x-x0)2+ f(n)(xo)(x-xo)n

Pn(x)a0a1(xx0)a2(xx0) 2    an(xx0) n 于是所求多项式为 ( ) ! 1 0 ( ) f x k a k k  (k0,1,2,  ,n).  f(x0) f (x0)(xx0) (xx0) 2 ( ) 2! 1 0  f  x ( ) ! 1 0 ( ) f x n   n    (xx0) n . •多项式系数的确定