83.5曲线的凹凸性及函数作图曲线的凹凸性与拐点二、曲线的渐近线三、函数作图
二、 曲线的渐近线 §3.5 曲线的凹凸性及函数作图 一、 曲线的凹凸性与拐点 三、 函数作图
曲线的凹凸性与拐点一函数曲线除了有升有降之外，还有不同的弯曲方向如何根据函数本身判断函数曲线的弯曲方向呢？y=(α)凹的凸的Oxox若在某区间内，曲线上每一点的切线都位于该曲线的下方，则称曲线在该区间内是凹的：若曲线上每一点的切线都位于该曲线的上方，则称曲线在该区间内是凸的
一 、曲线的凹凸性与拐点 函数曲线除了有升有降之外, 还有不同的弯曲方向, 如何根据函数本身判断函数曲线的弯曲方向呢？ 若在某区间内,曲线上每一点的切线都位于该曲线的 下方,则称曲线在该区间内是凹的；若曲线上每一点的切 线都位于该曲线的上方，则称曲线在该区间内是凸的．
曲线的凹凸性与拐点←必曲线的凹凸性定义设(x)在区间I上连续，如果对I上任意两点x，x2，恒有f(x)+ f(x2)f(+x2)2那么称(x)在I上的图形是凹的f(+2)>f(x)+f(x2)如果恒有22那么称(x)在I上的图形是凸的
v曲线的凹凸性定义 设f(x)在区间I上连续, 如果对I上任意两点x1 , x2 , 恒有 那么称f(x)在I上的图形是凹的 那么称f(x)在I上的图形是凸的 如果恒有 2 ( ) ( ) ) 2 ( 1 2 1 2 x x f x f x f , 2 ( ) ( ) ) 2 ( 1 2 1 2 x x f x f x f , 一 、曲线的凹凸性与拐点
·观察与思考观察切线斜率的变化与曲线凹凸性的关系LX1+x2f(x1)+(x2)22(x1)+f(x2)f(x2)f(xi):f(x)x2)(-1+x2)22-1--00X1xX2X1+x2xX1X2X1+X222
•观察与思考 观察切线斜率的变化与曲线凹凸性的关系
定理1（曲线凹凸性的判定法）设(x)在[a,bl上连续，在(a,b)内具有二阶导数若在(a, b)内f"(x)>0,则(x)在[a, b]上的图形是凹的;若在(a, b)内f"(x)<0,则(x)在[a, b]上的图形是凸的例1 判断曲线y=lnx的凹凸性，解=二122X因为在函数y=ln x 的定义域(O,+)内，y"<0所以曲线y=lnx是凸的
解 x y 1 , 2 1 x y v定理1(曲线凹凸性的判定法) 设f(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内具有二阶导数 若在(a, b)内f (x)>0, 则f(x)在[a, b]上的图形是凹的 若在(a, b)内f (x)<0, 则f(x)在[a, b]上的图形是凸的 例1 判断曲线yln x 的凹凸性 因为在函数 yln x 的定义域(0, )内, y0, 所以曲线yln x是凸的 解解 x y 1 , 2 1 x y