沈阳师范大学：《高等数学》课程教学课件（讲稿）第2章 导数与微分 2.3 隐函数的导数、参数方程的导数

S2.3隐函数的导数参数方程的导数一、隐函数的导数二、由参数方程所确定的函数的导数三、小结

§2.3 隐函数的导数 参数方程的导数 一、隐函数的导数 二、由参数方程所确定的函数的导数 三、小结

一、隐函数的导数1.隐函数的定义由二元方程 F(x,J)=0 所确定的函数y=f(x)称为隐函数y=f(x)的形式称为显函数F(x,y)=0 → y=f(x) 隐函数的显化.例 x+3-1=0可确定显函数=3/1-x;问题：隐函数不易显化或不能显化如何求导？例如方程xy-e+e=0

一 、隐函数的导数 问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导? 0 x y 例如方程 xy  e  e  F(x, y)  0 y  f (x) 1. 隐函数的定义 称为 隐函数. y = f (x)的形式称为显函数. 隐函数的 1 0 3 x  y   可确定显函数 1 ; 3 例 y   x 显化. 由二元方程 F (x, y) = 0 所确定的函数y = f (x)

2.隐函数求导法则用复合函数求导法则,将方程两边对x求导并注意到其中变量v是x的函数例1 求由方程y5+2y-x-3x7=0所确定的隐函数y=(x)在x=0处的导数y"解方程左右两边同时对x求导数得5y4.y'+2y'-1-21x6=0,1+21x6由此得V'y'(0)=1/25y4+2

用复合函数求导法则, 并注意到其中 将方程两边对x求导. 变量y是x的函数. 2. 隐函数求导法则 例1 求由方程y 52yx3x 70所确定的隐函数yf(x) 在x0处的导数y 5y 4 y2y121x 60 解 方程左右两边同时对x求导数得 由此得 5 2 1 21 4 6     y x y  y(0)=1/2

例2求由方程 xye＊＋e=0所确定的隐函数dydyy的导数x=0dx'dx解原方程看作 xy(x)-e*+ej(x)= 0,didy0方程两边对x求导，y+xdxdxdye'解得由原方程知 x=0,y=0dxx+edye=1.x=0x=0dx02x+ ey=0

例2 , . 0 0    x x y dx dy dx dy y xy e e 的导数 求由方程 所确定的隐函数 解 方程两边对x求导, dx dy y  x 解得 , y x x e e y dx dy    由原方程知 x  0, y  0, 0 0 0        y y x x x x e e y dx dy  1. ( ) ( ) 0 x y x 原方程看作 xy x  e  e  ， x  e   0 dx dy e y

求隐函数的导数时，只要记住x是自变量v是x的函数，于是v的函数便是x的复合函数将方程两边同时对x求导，就得到一个含有导数y'的方程.从中解出即可。虽然隐函数没解出来，但它的导数求出来了,当然结果中仍含有变量一般来说,隐函数求导，允许在的表达式中含有变量y

虽然隐函数没解出来,但它的导数求出来 了,当然结果中仍含有变量y. 允许在 y的表达式中含有变量y. y 一般来说,隐函数 求导, 求隐函数的导数时,只要记住x是自变量, 将方程两边同时对x求导,就得到一个含有导数 从中解出即可. 于是y的函数便是x的复合函数, 的方程. y是x的函数