第四节高阶导数一、高阶导数的定义二、求高阶导数举例三、高阶导数的运算法则
二、求高阶导数举例 第四节 一、高阶导数的定义 高阶导数 三、高阶导数的运算法则
一、高阶导数的定义1. 引例变速直线运动s = s(t)ds速度即v=s'V=dtdydds加速度a-dtdtdt即a=(s')
一、高阶导数的定义 s s(t) 速度 即 v s 加速度 , d d t s v t v a d d ) d d ( d d t s t 即 a (s) 1. 引例 变速直线运动
2.定义(1)如果f(x)的导数f(x)在点x.处可导,即f'(xo + Ax) - f'(xo)limf"(xo)=[f'(x)]x=x0AxAr→>0存在，则称[f'(x)]为函数,f(x)在点x.处的x=X0二阶导数，并称f(x)在x=x处二阶可导，记作d? f(x)d2V或f"(xo), J"|x=xo'dx2X=X0x=xodx2
2. 定义 (1) 如果 f (x)的导数 f (x)在点x0处可导, 即 0 f ( x ) x f x x f x f x x x x ( ) ( ) [ ( )] lim 0 0 0 0 存在 则称 为函数 在点 0处的 0 , [ f ( x)] f ( x) x x x 二阶导数， ( ) , 并称f x 在x x0处二阶可导 记作 . d d ( ) d d ( ), , 0 2 2 0 2 2 0 0 x x x x x x x f x x y f x y 或
(2) 若函数 y= f(x) 的导数 y'= f'(x) 在区间(a, b)上可导，则称 f'(x)的导数为f(x)的二阶导(函)数记作"或,即 "=(y)或dxdxdx2类似地，二阶导数的导数称为三阶导数，依次类推。n-1阶导数的导数称为n阶导数，分别记作j",j(4),v(h..d'yd* yd" y或dx3dxhdx二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数
(2) 若函数 y f (x) 的导数 y f (x) 在区间(a, b) 或 , d d 2 2 x y 即 y ( y) 或 ) d d ( d d d d 2 2 x y x x y 类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 , n 1阶导数的导数称为 n 阶导数 , y , , (4) y ( ) , n y 或 , d d 3 3 x y , d d 4 4 x y n n x y d d , f (x)的二阶导(函)数 , 记作 y f (x)的导数为 依次类推 , 分别记作 二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数 . 上可导, 则称
例1设x4-xy+y4=1,求y"在点(0,1)处的值。解一方程两边对x求导得4x3 - y-xy' + 4y"y'= 04x3 -y将 x=0,=1代入(1)式得(1)x-4y将方程(1)两边再对x求导,注意方程(I)右端的v仍然是x的函数J"= (4x*-J)' (x-4y)-(4x*- ) (x-4y)(x -4y3)2(12x2 - y) (x-4y3)-(4x3 - y)·(1-12y2 . y)(2)(x-4y3)1将x=0, J=1, Jx= =二代入(2)式得x=016J=l
例1 1, (0,1) . 设 x 4 xy y 4 求y在点 处的值 解一方程两边对x求导得 3 3 4x y xy 4 y y 0 将方程(1)两边再对x求导, 3 3 3 3 3 2 (4 ) ( 4 ) (4 ) ( 4 ) ( 4 ) x y x y x y x y y x y 4 1 1 0 y x y 将 x 0, y 1代入(1)式得 . 16 1 1 0 y x y 3 3 4 (1) 4 x y y x y 2 3 3 2 3 2 (12 ) ( 4 ) (4 ) (1 12 ) (2) ( 4 ) x x y x y y x y y y 注意方程(1)右端的y仍然是x的函数 将 代入(2)式得 4 1 0, 1, 1 0 y x y y x