沈阳师范大学：《高等数学》课程教学课件（讲稿）第2章 导数与微分 2.5 函数的微分

第五节函数的微分一、微分的定义二、微分的几何意义三、微分公式与微分运算法则四、小结

二、微分的几何意义 三、微分公式与微分运算法则 四、小结 一 、微分的定义 第五节 函数的微分

微分的定义一、实例：正方形金属薄片受热后面积的改变量设边长由x,变到x。+△x,Ax)则面积增量X.ArAA = (x, +Ar) - x)A=x:XrAr(Ax)= 2x : △x +(1)(2)(1)是△x的线性函数,且为△A的主要部分;(2)当Ax|很小时，(△x)=0(△x)，则△A ~ 2x,△x

一 、微分的定义 实例: 正方形金属薄片受热后面积的改变量. 2 A  x0 x0 x0 , 0 0 设边长由 x 变到x  x 2 0 2 0 A  (x  x)  x 则面积增量 2 ( ) . 2  x0  x  x (1) (2) (1)是x的线性函数, 且为A的主要部分; ( ) o( ), 2 (2) x  x x x 2 (x) x x 0 x0x 当x 很小时, 则 2 . A  x0x

再例如，设函数y=x2在点x处的改变量为△x时，求函数的改变量 AyAy =(xo + x) - x= 3x . △x +3x · (△x)2 + (△x)3(1)(2)当△x很小时，(2)是△x的高阶无穷小o(Ax)既容易计算又是较好的近似值则 Ay ~ 3x · Ar. 问题：这个线性函数（改变量的主要部分）是否所有函数的增量都有?它是什么?如何求？

再例如, . , 0 3 y y x x x    求函数的改变量 设函数 在点 处的改变量 为 时 3 0 3 0 y  ( x  x)  x 3 3 ( ) ( ) . 2 3 0 2 0  x  x  x  x  x (1) (2) 当x 很小时, 3 . 2 0 则y  x  x (2)是x的高阶无穷小o(x), 既容易计算又是较好的近似值 问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有 函数的增量都有?它是什么?如何求?

定义：若函数=f(x)在点x。的增量可表示为A y= f(x, +△x)- f(x):A△x +o(△x)(A 为不依赖于△x的常数)则称函数 =f(x）在点x可微，而 A△x 称为f(x)在点x的相应于增量△x的微分,记作dy即dy = A△x.说明：（1)dy是自变量的增量△x的线性函数;(2)Ay-dy =o(△x)是比△x高阶无穷小;

的相应于增量△x 的微分, 定义: 若函数 y  f (x) 在点 的增量可表示为 ( ) ( ) 0 0  y  f x  x  f x ( A 为不依赖于△x 的常数) 则称函数 y  f (x) 而 A x 称为 f (x)在 0 点x 记作dy 即 dy  A x.  Ax o(x) 在点 x0 可微, x0 (1) dy 是自变量的增量 x的线性函数 ; (2) y  dy  o(x)是比x高阶无穷小; 说明:

函数y= f(x)在点x可微← △y= Ax+o(△x)记dy = Ax说明：(3)当A≠0时,dy与△y是等价无穷小;Ayo(△x)因为>1(x→0)dyA.△x(4)A是与△x无关的常数,但与f(x)和x,有关(线性主部)(5)当△x很小时,△y~dy

(3)当A  0时,dy与y是等价无穷小 ; y y d  因为 A x o x      ( ) 1  1 (x  0). (4) , ( ) ; A是与x无关的常数 但与f x 和x0有关 (5)当x很小时,y  dy (线性主部). 函数 y  f (x) 记 dy  A x 在点 x0 可微   y  A x  o(x) 说明: