用数学归纳法易得 x可用1,..dy (k-1 (k≤n)来表达 dx dx 将这些表达式代入(4.59)可得 F(,y,y,y( )=0 dx 即有新方程 (n-1) G(,y )=0 dx dx 它比原方程降低一阶
用数学归纳法易得: 可用 , , , ( 1) ( )来表达 ( 1) ( ) k n dx d y dx dy x y k k k − − 将这些表达式代入(4.59)可得: 2 2 2 2 ( , , , ( ) , ) 0 dy dy d y F x y y y y dx dx dx + = 即有新方程 ( , , , , ) 0 ( 1) ( 1) = − − n n dx d y dx dy G x y 它比原方程降低一阶
解题步骤 第一步:令y=x,并y为新的未知函数,x为新的 自变量,原方程化为 (n- G(,y,l, dx(n-10 第二步:求以上方程的通解 0(X,C1 第三步:解方程 dx dt(r, c 即得原方程的通解
解题步骤: 第一步: 自变量 原方程化为 令 并 为新的未知函数 为新的 , , , ' y = x y x ( , , , , ) 0 ( 1) ( 1) = − − n n dx d y dx dy G x y 第二步: 求以上方程的通解 ( , , , ) = 1 n−1 y x c c 第三步: 解方程 ( , , , ) = 1 n−1 x c c dt dx 即得原方程的通解
例2求方程x 0的通解 解令 ay,并以x作为新的自变量, 则方程化为xy,-y2=0 dx 从而可得y=0,及= 这两方程的全部解是y=c1x 再代回原来变量得到a 所以得原方程的通解为x=c2e
解 令 y,并以x作为新的自变量, dt dx = 则方程化为 0 2 − y = dx dy x y 从而可得 y = 0, 及 , x y dx dy = 这两方程的全部解是 , 1 y = c x 例2 ( ) 0 . 2 2 2 求方程 − = 的通解 dt dx dt d x x 再代回原来变量得到 , 1 c x dt dx = 所以得原方程的通解为 1 2 , c t x c e =
3已知齐线性方程的非零特解进行降阶 1)设x=x1≠0是二阶齐线性方程 +Pp(),+q(1)x=0,(4.69) dt 的非零解 x=xy则x=xy+x1y x=x,y +2x,y+x,y 代入(469)得 xy+[2x1+p(1)x1]y+[x1+p(0)x1+q()x1]y=0 x y+[2x,+p(tx,ly=0
3 已知齐线性方程的非零特解,进行降阶 1 (1) 0 设 是二阶齐线性方程 x x = 2 2 ( ) ( ) 0, (4.69) d x dx p t q t x dt dt + + = 的非零解 令 1 x x y = 则 ' ' ' 1 1 x x y x y = + '' '' ' ' '' 1 1 1 x x y x y x y = + + 2 代入(4.69)得 '' ' ' '' ' 1 1 1 1 1 1 x y x p t x y x p t x q t x y + + + + + = [2 ( ) ] [ ( ) ( ) ] 0 即 '' ' ' 1 1 1 x y x p t x y + + = [2 ( ) ] 0
xy+12x1+p(1)x1y=0 入新的未知函数z=y 方程变为x=,+[2x1+p(t)x]=0 p(t)dt 是一阶线性方程,解之得 2 则 y 1-p(Ddi dt+C1 因而 ep( t ) dt X=x1C1+C2\2 d],(4.70) 这里c,c2是任常数
'' ' ' 1 1 1 x y x p t x y + + = [2 ( ) ] 0 引入新的未知函数 ' z y = , 方程变为 ' 1 1 1 [2 ( ) ] 0 dz x x p t x z dt + + = 是一阶线性方程,解之得 ( ) 2 1 , c p t dt z e x − = 因而 ( ) 1 1 2 2 1 1 [ ], (4.70) p t dt x x c c e dt x − = + 1 2 这里 是任常数. c c, 则 ( ) 2 1 2 1 1 , p t dt y c e dt c x − = +