设an= tan xa, (1)求∑(an+an+2) (2对任意>0级数∑收敛。⑨9) 证明:∵an+l n+2 n+1 n+1 1111 ≤ nn+1 n nnn H,入+1>1
对任意 级 数 收敛。（ ） 求 设 (2) 0, 99 ( ); 1 (1) tan , 1 2 1 4 0 + + = n a a a n a xdx n n n n n 1 1 2 + + + = n 证明：an an 1 1 + n an , 1 1. 1 1 1 1 1 1 1 = + + + n n n n n n 则 an
6.设∑bn与∑Cn都收敛,且bn≤an≤Cn = (n=1,2,),能否推出∑an收敛? H=1 证明::0≤an-bn≤cn oo 而∑(cn-bn)收敛 ∑(an-bn)收敛 又∵∑(an-b)收敛∑b收敛 ∑an收敛
6. 设 n=1 bn 与 n=1 n c 都收敛，且 n n n b a c (n = 1,2,)，能否推出 n=1 an 收敛？ n n n bn 证明：0 a − b c − 而 ( )收敛 1 n bn c − ( )收敛 1 n n a − b 又 an bn 收敛， bn收 敛 − 1 1 ( ) . 1 收敛 n a
7.设f(x)在x=0的某邻域内有二阶连续 导数,且lim=0明∑/()绝对收敛 x→0X n 证明::linf(x) 0∴f(x)→0→f(0)=0 x→>0x 又lm()=imf,x)=0:r(0)=0 x→少0x r→0 据Tiir式f(x)=f(0)+f(0)x+f"()x2 即f()=f(0)+f(0)+,f"(5)2 f( 50)2 M
导数，且 证 明 绝对收敛。 设 在 的某邻域内有二阶连续 ) 1 0, ( ( ) lim 7. ( ) 0 1 0 → = = n f x f x f x x x 0 ( ) lim 0 = → x f x x 证明： f (x) → 0 f (0) = 0 0 1 ( ) lim ( ) lim 0 0 = = → → f x x f x x x 又 f (0) = 0 2 ( ) 2! 1 据Tailor展 式f (x) = f (0) + f (0)x + f x 0 2 1 ( ) 2! 1 1 ) (0) (0) 1 ( n f n f f n 即f = + + 0 2 2 1 1 ( ) 2! 1 ) 1 ( n M n f n f =
设f(x)在x=0的某邻域内有二阶连续 oo 导数,且Iim0=0,证明∫()绝对收敛 x→>0x 证明:im∫(x)0∴:f(x)>0→f(0)=0 x→>0x 又im(x) ∫(x) 0∴f(0)=0 x->0x x->01 lin f(x=lim '(=lim "()"(0) x→>0x 2 x→02x x→0 2 2 lim /f(/n) f"(0) n→>01/n ∫"(0)≠0或0)=0,∑f(都绝对收敛 n=
导数，且 证 明 绝对收敛。 设 在 的某邻域内有二阶连续 ) 1 0, ( ( ) lim ( ) 0 1 0 → = = n f x f x f x x x 0 ( ) lim 0 = → x f x x 证明： f (x) → 0 f (0) = 0 0 1 ( ) lim ( ) lim 0 0 = = → → f x x f x x x 又 f (0) = 0 2 (0) 2 ( ) lim 2 ( ) lim ( ) lim 2 f x f x f x x f x x o x o x o = = = → → → 2 (0) 1/ (1/ ) lim 2 f n f n n = → 或 都绝对收敛。 = = 1 ) 1 (0) 0, (0) 0, ( n n f f f
8.设0<mn<1,mn+1=un(un2+1),讨论∑un的敛散性。 2 n+1 ∵巩n+1 (un2+1)< un单调下降且有下界n>0则i n a(a2+1)→m=0或a=1(a=-1舍去) 当 lim u=a=0, n→0 有 lim n+l=lim.2 (un2+1)=<1 ∑un收敛
设 讨论 的敛散性。 + = + 1 2 1 ( 1), 2 1 8. 0 1, un un un un un ( 1) 1 2 1 ( 1) 2 1 2 1 2 1 = + = + + + n n n n n n u u u u u u un单调下降且有下界un 0 un a n = → 则lim ( 1) 2 1 2 a = a a + a = 0或a = 1 (a = −1舍去). lim = = 0, → un a n 当 1 2 1 ( 1) 2 1 lim lim 1 2 = + = → + → n n n n n u u u 有 收敛。 1 un