导数与微分 习题课
1 习题课 导数与微分
、主要内容 关 系d=y兮中=y分4=的+0(Ax) 基本公式 导数 微分 △ 高阶导数 li y=y△x △x→0△x 高阶微分 求导法则
2 求 导 法 则 基本公式 导 数 x y x →0 lim 微 分 dy = yx 关 系 y dy y dx y dy o( x) dx dy = = = + 高阶导数 高阶微分 一、主要内容
典型例题 例1设f(x)=x(x-1)(x-2)…(x-100, 求∫(0) 解 f(0=lim f(x)-f(0) x→0 x-0 im(x-1)(x-2)…(x-100)=100 0 x→ 或:设x)=xg(x),g(x)=(x-1)(x-2).(x-100), 则f'(x)=g(x)+xg'(x),f'(0)=g(0)+0=100!
3 二、典型例题 例1 (0). ( ) ( 1)( 2) ( 100), f f x x x x x = − − − 求 设 解 0 ( ) (0) (0) lim 0 − − = → x f x f f x lim( 1)( 2) ( 100) 0 = − − − → x x x x = 100! 或：设f(x)=xg(x)，g(x)=(x-1)(x-2)(x-100)， 则 f (x)=g(x)+xg(x)，f (0)=g(0)+0=100！
例2设y= arctan√1+x2+ln 1+x2+1 2 1+x2-1 求 解设n=√1+x2,则y=1 arctan u+lm+1 2 L 11 2(1+u2)4a+1 2x2-x (√1+x2 y (2x+x3)1+x2
4 例 2 . , 1 1 1 1 ln 41 arctan 1 21 22 2 y xx y x + − + + = + + 求设 解 1 , 2 设 u = + x , 11 ln 41 arctan 21 −+ = + uu 则 y u ) 1 1 1 1 ( 41 2(1 ) 1 2 − + + + + = u u u y u 4 1 1− u = , 2 12 4 − x − x = ( 1 ) 2 u = + x x , 1 2 x x+ = . (2 ) 1 13 2 x x x y x + + = −
sinx.x<o 例3设f(x)= n(1+x),x≥0 问f(0),厂(0),f(0)是否存在 解 广(0)=lim f(0+x)-f(0)= lim sin x=l x→)0 0-x ∫(0)=im f(0+x)-f(0 In(1+x) x→0+ x→0+x ∫1(0)=f(0)=1,f(0)=1
5 例 3 ( 0 ), ( 0 ), ( 0 ) ., ln( 1 ) , 0 sin , 0 ( ) 问 是否存在 设f f f x x x x f x + = + − 解 1 sin lim (0 ) (0) (0) lim0 0 = = + − = → − → − − x x x f x f f x x 1 ln(1 ) lim (0 ) (0) (0) lim0 0 = + = + − = → + → + + x x x f x f f x x (0)= (0)= 1, (0) = 1. + − f f f