曲线积分与曲面积 习题课
曲线积分与曲面积分 习题课
(一)曲线积分与曲面积分 曲线积分 对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分 义gmh=2/(,1点(x,+( 定 im∑P(,n)x+(,m)A 联系 Pdx+edy= (Pcos a+2cos B)ds 计J,f(x,y)ds Pdx +ody = flo,yh '+y'2dt LIP(, Y)o'+2(cp, v)y'ldt 算三代一定(a<B)二代一定(与方向有关)
曲 线 积 分 对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分 定 义 = → = n i i i i L f x y ds f s 1 0 ( , ) lim ( , ) + L P(x, y)dx Q(x, y)dy lim [ ( , ) ( , ) ] 1 0 i i i n i i i i = P x +Q y = → 联 系 Pdx Qdy P Q ds L L ( cos cos ) + = + 计 算 = f + dt f x y ds L 2 2 [ , ] ( , ) 三代一定 ( ) = + + P Q dt Pdx Qdy L [ ( , ) ( , ) ] 二代一定 (与方向有关) （一）曲线积分与曲面积分
与路径无关的四个等价命题 条在单连通开区城D上P(x,)Q(x)具有 件连续的一阶偏导数,则以下四个命题成立 等(1)在D内Pd+Q小与路径无关 价(2)「Px+g小=0闭曲线CcD 命(3)在D内存在U(x,y)使d=Pa+h 题|(4)在D内 OP 00 ay ax
与路径无关的四个等价命题 条 件 在单连通开区域D上P(x, y),Q(x, y)具 有 连续的一阶偏导数,则以下四个命题成立. + L (1) 在D内 Pdx Qdy与路径无关 + = C (2) Pdx Qdy 0,闭曲线C D (3) 在D内存在U(x, y)使du = Pdx + Qdy x Q y P D = (4) 在 内, 等 价 命 题
曲面积分 对面积的曲面积分对坐标的曲面积分 R(x,,x)d=im∑R5,n,5△S 义 元→>0 联|』Pk+Q+Rd(+2s+Ry 系|2 ∑ f(x,y, z ) ds R(x, ,)dxdy 计 算/=-∥ nx;x+2:+2=址1x2(x 代,二换三投(与侧无关一代一二投,三定向(与侧有关)
曲 面 积 分 对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分 定 义 = → = n i i i i i f x y z ds f s 1 0 ( , , ) lim ( , , ) i x y n i R(x, y,z)dxdy lim R( i , i , i)( S ) 1 0 = = → 联 系 Pdydz + Qdzdx + Rdxdy 计 算 一代,二换,三投(与侧无关) 一代,二投,三定向 (与侧有关) = (Pcos + Qcos + Rcos )dS f (x, y,z)ds = + + Dxy x y f x y z x y z z dxdy 2 2 [ , , ( , )] 1 R(x, y,z)dxdy = Dxy R[x, y,z(x, y)]dxdy
(二)各种积分之间的联系 计算 曲线积分 定积分 Stokes公式 ree公 计算 计算 曲面积分 重积分 Guas公式
曲线积分 定积分 曲面积分 重积分 计算 计算 计算 Stokes公式 Guass公式 （二）各种积分之间的联系