第八节高阶线性微分方程 一、概念的引入 四二、线性微分方程的解的结构 巴三、降阶法与常数变易法 四四、小结思考题
生一、概念的引入 例:设有一弹簧下挂一重物,如果使物体具有一个初 始速度v≠0,物体便离开平衡位置,并在平衡位置 附近作上下振动试确定物体的振动规律x=x(t) 圭 解受力分析 工工工 1恢复力∫=-cx; 2阻力R= 王页下
一、概念的引入 例:设有一弹簧下挂一重物,如果使物体具有一个初 始速度v0 0,物体便离开平衡位置,并在平衡位置 附近作上下振动.试确定物体的振动规律x = x(t). 解 受力分析 1.恢复力 f = −cx; 2. ; dt dx 阻力 R = − x x o
∴F=Ma,∴,m d'x 女2=-cx-HA x+2nd+kx=0物体自由振动的微分方程 若受到铅直干扰力F= H sin p, +202+x=m强迫振动的方程 dt d E 中Lc-e+2 +o u =sin ot dt B dt LC 串联电路的振荡方程
F = ma, , 2 2 dt dx cx dt d x m = − − 2 0 2 2 2 + + k x = dt dx n dt d x 物体自由振动的微分方程 若受到铅直干扰力 F = H sin pt, k x h pt dt dx n dt d x 2 sin 2 2 2 + + = 强迫振动的方程 t LC E u dt du dt d u Lc m c c c 2 sin 2 2 0 2 + + = 串联电路的振荡方程
dy+ P(x)n+o(x)y=f(x) d x 二阶线性微分方程 当f(x)=0时,二阶线性齐次微分方程 当f(x)≠0时,二阶线性非齐次微分方程 n阶线性微分方程 上y+P(x)y)+…+Pn1(x)y+P(x)y=f(x 上页
二阶线性微分方程 ( ) ( ) ( ) 2 2 Q x y f x dx dy P x dx d y + + = 当 f (x) = 0时， 二阶线性齐次微分方程 当 f (x) 0时， 二阶线性非齐次微分方程 n阶线性微分方程 ( ) ( ) ( ) ( ). 1 ( 1) 1 ( ) y P x y Pn x y Pn x y f x n n + + + − + = −
二、线性微分方程的解的结构 1.二阶齐次方程解的结构: y"+P(x)y+Q(x)y=0(1) 定理1如果函数y(x)与y2(x)是方程(的两个 解,那末y=C11+C2y2也是(1)的解.(C1,C2是常 数) 问题:y=C1y1+C2y2定是通解吗? 上页
二、线性微分方程的解的结构 1.二阶齐次方程解的结构: 定理 1 如果函数 ( ) y1 x 与 ( ) y2 x 是方程(1)的两个 解,那末 1 1 2 2 y = C y + C y 也是(1)的解.（ 1 2 C , C 是常 数） 问题: y = C1 y1 + C2 y2一定是通解吗？ y + P(x) y + Q(x) y = 0 (1)