中值定理与导数 的应用 习题课
习题课 中值定理与导数 的应用
、主要内容 洛必达法则 0,1°,∞0型 auchy 令y 中值定理「∞-o型 型 0 取对数 1g-1/ 0·∞型 F g X=x l/g·1/f 型 g g Lagrange (a=f(b) Rolle 中值定理 定理 n 0 Taylor 常用的 中值定理泰勒公式
洛必达法则 Rolle 定理 Lagrange 中值定理 常用的 泰勒公式 0 0 ,1 , 0 型 − 型 0 型 型 0 0 型 Cauchy 中值定理 Taylor 中值定理 F(x) = x f (a) = f (b) n = 0 g f f g 1 = g f g f f g 1 1 1 1 − − = 取对数 令 g y = f 一、主要内容
二、典型例题 例1求极限lim x05(1+5x-(1+x) 解∵:分子关于x的次数为2 1+5x=(1+5x) =1+(5x)+ 2!55 1)·(5x)2+0(x2) 5 =1+x-2x2+0(x2) 原式=lim x→01+x-2x2+0(x2)-(1+x)2
例1 . 1 5 (1 ) lim 5 2 0 x x x x→ + − + 求极限 解 分子关于 x 的次数为 2. 5 1 5 1+ 5x = (1+ 5x) 1) (5 ) ( ) 5 1 ( 5 1 2! 1 (5 ) 5 1 1 2 2 = + x + − x + o x 1 2 ( ) 2 2 = + x − x + o x [1 2 ( )] (1 ) lim 2 2 2 0 x x o x x x x + − + − + = → 原式 . 2 1 = − 二、典型例题
1x+2x+ (2)lim arctan x)nx; 3)lim( x→+∞2 x→>0 n In(--arcta lim 解(2)原式=ex→+0 n d T arctan x)I+x lim x→+∞兀 2 lIm arctan =ex>+ 1/x =已 2 (1+x2) x→)+ 1+x 2 x-++∞(1+x2)
) . 1 2 arctan ) ; (3) lim( 2 (2) lim ( 1 0 ln 1 x x x x x x x n n x + + − →+ → x x x e ln arctan ) 2 ln( lim (2) − →+ 解 原式 = x x x x e 1 / 1 1 arctan ) 2 ( 1 lim 2 + − − →+ = arctan ) 2 ( 1 lim 2 x x x x e − + − →+ = 2 2 2 2 1 1 1 1 lim x x x x e + − + − − →+ = （ ） . 2 1 2 1 1 lim e e x x x = = + − →+ （ ）
1+2+…n (3)lim( x→0 n 解(3) …+n lim-In( 原式 =pro lim +...+n =ex)0(x) 11In1+2xIn2+…nlnn lim nn. =e>01 1+ =e n=nn
x x x x x n n 1 0 ) 1 2 (3) lim( + + → ) 1 ln( 1 lim 0 (3) n n x x x x e + + = → 原 式 解 [ln(1 ) ln( )] ( ) 1 lim 0 + + − → = n n x x x x e x x x x x x n n n e + + + → = 1 1 ln1 2 ln 2 ln 1 1 lim 0 n n n e n! ln ! = =