第十二节微分方程的幂级数解法 巴一、问题的提出 d=f(x,y)特解求法 dx 阶齐次线性方程幂级数求法 四四、小结思考题
问题的提出 尽例如 x ty, 解不能用初等函数或其积分式表达 寻求近似解法:幂级数解法; 工工工 卡比逐次逼近法; 数值解法 上页
一、问题的提出 , 2 2 x y dx dy 例如 = + 解不能用初等函数或其积分式表达. 寻求近似解法: 幂级数解法; 数值解法. 卡比逐次逼近法;
二、4=f(x,y)特解求法 王问题求少=f(x满足川==的特解 王其中f(x,y=2a+a1x-x)+a1(y-y) +…+an(x-xn)(y-yn)” 牛择腿半圈让冲x一世新藏 y=y+a1(x-x0)+a2(x-x0)+… 其中a1,a2…,an,…为待定的系数 上页 圆
二、 f ( x, y ) 特解求法 dx dy = 问题 ( , ) . 求 f x y 满足 y 0 y0 的特解 dx dy = x= x = ( ) ( ) . ( , ) ( ) ( ) 0 0 00 10 0 01 0 l m l m a x x y y f x y a a x x a y y + + − − = + − + − 其中 , 假设所求特解可展开为 x − x0的幂级数 y = y0 + a1 (x − x0 ) + a2 (x − x0 )2 + , , , , . 其中a1 a2 an 为待定的系数
例1求=x+y2满足y-=0的特解 db 解x。=0,y=0, 设y=a1x+a2x2+a3x3+…+anx"+…, y=a1+2a2x+33x2+…+nUny+…, 将y,y的幂级数展开式带入原方程 +2a x+3a2x2+4a1x3+ 2 =x+(1x+a2x2+a3x+a4x+ 2 王页下
| 0 . 0 求 = x + y 2 满足y x= = 的特解 dx dy 解 x 0 = 0 ， 0 , y 0 = , 3 3 2 设 y = a1 x + a2 x + a x ++ an x n + 将 y, y的幂级数展开式带入原方程 a1 + 2a2 x + 3a3 x2 + 4a4 x3 +4 2 4 3 3 2 1 2 = x + (a x + a x + a x + a x +) 2 3 , 2 1 3 1 y = a1 + a2 x + a x ++ nan xn− + 例 1
=x+a2x2+2a1a2x3+(a2+2a43)x+ 比较恒等式两端x的同次幂的系数,得 a1=0,“22’马=0,n4=0,a。,… 1 20 庄所求解为y= 220 小结:无初始条件求解 可设p=C+∑anx”(C是任意常数) n 上页
, , 20 1 , 0, 0, 2 1 0, a1 = a2 = a3 = a4 = a5 = . 20 1 2 所求解为 y = 1 x 2 + x 5 + = x + a1 2 x 2 + 2a1 a2 x 3 + (a2 2 + 2a1 a3 )x 4 + 比较恒等式两端x的同次幂的系数, 得 小结: 无初始条件求解 = = + n 1 n 可设 y C an x (C是任意常数)