第三章函数的导数与微分 §3.1导数的概念 §3.2函数的和、差、积、商的求导法则 §33反函数和复合函数的求导法贝 §3.4高阶导数 dy=f(x)dx §3.5隐函数的导数 §3.6函数的微分
1 第三章 函数的导数与微分 §3.1 导数的概念 §3.2 函数的和、差、积、商的求导法则 §3.3 反函数和复合函数的求导法则 §3.4 高阶导数 §3.5 隐函数的导数 §3.6 函数的微分 dy f x dx = '( )
第三章导数与微分 引言:研究变量与变量之间的依赖关系即研究函数关 系;研究变量的变化趋势即研究函数极限;除此之外, 还要研究各变量之间相对变化快慢的程度;如质点运 动速度、城市人口增长的速度、国民经济发展的速度 等等,这就需要用导数来研究.本章将介绍导数和微 分的概念以及它们的计算方法
第三章 导数与微分 引言：研究变量与变量之间的依赖关系即研究函数关 系；研究变量的变化趋势即研究函数极限；除此之外, 还要研究各变量之间相对变化快慢的程度; 如质点运 动速度、城市人口增长的速度、国民经济发展的速度 等等, 这就需要用导数来研究. 本章将介绍导数和微 分的概念以及它们的计算方法
§3.1导数的概念 引例 △t 1.变速直线运动的瞬时速度 匀速直线运动的(瞬时)速度:ν= 设作变速直线运动的质点P(运动轨迹为s=S(1)从to 时刻到+△时刻,动点P在△t这段时间内经过的路程为 △s=st+△-s(to),平均速度为 △ss(t0+△t) △t 即路程的改变量与时间的改变量之商
3 §3.1 导数的概念 匀速直线运动的(瞬时)速度： s v t = • • 0 t 0 t t + Δt P 0 0 s s t t s t ( ) ( ) v t t + − = = 即路程的改变量与时间的改变量之商. 设作变速直线运动的质点P (运动轨迹为 s = s(t)) 从 t0 时刻到t0+Δt时刻, 动点P在Δt 这段时间内经过的路程为 Δ s = s(t0+Δt)-s (t0 ) ，平均速度为 1.变速直线运动的瞬时速度 一.引例
当4变化,也随之而变;当tO时,可看作是质点 在时刻t的“瞬时速度”的近似值.从而对平均速度 取极限,便有lim △s fnS(tn+△)-S(t0) △t→+0△t△t→>0 △t 如果极限lim仝=lims+△n)-s(n)存在,则称此极限 A→+0△t△r→0 △t 值为动点在时刻t的瞬时速度,即 s(o+△)-s(0) v(to)=lim=lim A→>0△t △t→>0 平面曲线的切线斜率 当某一质点沿曲线运动时,不仅在速度上有变化, 而且在运动方向上也有变化.欲知做曲线运动的质点 在某点的运动方向,就是要求曲线上该点的切线方程,而 求切线方程的关键是求出切线的斜率
当Δt变化, v也随之而变; 当Δt→０时, 可看作是质点 在时刻t0 的“瞬时速度”的近似值. 从而对平均速度 取极限, 便有 v 0 0 0 0 ( ) ( ) lim lim t t s s t t s t t t → → + − = 如果极限 存在, 则称此极限 值为动点在时刻t0的瞬时速度, 即 0 0 0 0 ( ) ( ) lim lim t t s s t t s t t t → → + − = 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim lim t t s s t t s t v t t t → → + − = = 2.平面曲线的切线斜率 当某一质点沿曲线运动时, 不仅在速度上有变化, 而且在运动方向上也有变化. 欲知做曲线运动的质点 在某点的运动方向,就是要求曲线上该点的切线方程,而 求切线方程的关键是求出切线的斜率
设曲线L的方程为y=f(x), Mx0,)为L上一定点,动点 y+4y………y… M(x+x,yo+4y,作割线MmM,与x Moans 轴夹角为q,则割线MmM的斜率为 Δ∫(x0+△x)-f(x0) xo+△x KmM=tan oM 当动点M沿曲线L趋向定点M时,有 Ax→0此时割线MmM的极限位置就是曲线L过定 点M0的切线MT;
y o x 设曲线L的方程为y=ƒ(x), M0 (x0 ,y0 )为L上一定点, 动点 M(x0+Δx,y0+Δy), 作割线 M0M, 与x 轴夹角为φ, 则割线M0M的斜率为 L：y=ƒ(x) M0 0 x 0 x x + M T ›φ ›α 0 0 0 ( ) ( ) M M tan y f x x f x k x x + − = = = 0 y 0 y y + Δx }Δy 沿曲线L »φ 当动点M 趋向定点 M0时, 有 Δx→0 此时割线 M0M 的极限位置就是曲线 L 过定 点 M0 的切线 M0T; M1