9设正项数列{an弹单调减少,且(-1)"an发散,问 ∑1解 是否收敛?并说明理由。(98) an十 Ir n n→Q n→>∞an+1 an单调减少且n>0:iman存在,设为 an>0,∴a>0×则a≥0 若a=0,a1单调减少,→∑(-1yan收敛。矛盾 则a>0,→lim%l n0"1+a<1故级数收敛
是否收敛？并说明理由。 （ ） 设正项数列 单调减少，且 发散，问 ) 98 1 1 ( 9. ( 1) 1 1 n n n n n a a a + − 1 1 lim lim + = → → n n n n n a 解 ： u a n单调减少且an 0 an a n 存在，设为 → lim 则a 0 若a = 0,an单调减少， n an收敛。 − 1 ( 1) 矛盾 1 1 1 0, lim + = → a a n un n 则 故级数收敛 an 0, a 0
10.判断级数 b 十 十∴ 1234 2n-12n (a,b为任意实数)是否收敛,若收敛是条件收敛, 还是绝对收敛? 解:a=b 级数为 ∴十 234 2n-12n 是收敛的交错级数 级数++++… 十 234 2n 2n (a≠0时发散 a=b=0时绝对收敛,a=b≠0时条件收敛
还是绝对收敛？ 为任意实数 是否收敛，若收敛是条件收敛， 判断级数 ( , ) 1 2 3 4 2 1 2 1 0. a b n b n a b a b a − + − − + − + + 解：a = b − + − − + − + + n a n a a a a a 1 2 3 4 2 1 2 级数为 是收敛的交错级数。 + + − + + + + + n a n a a a a a 1 2 3 4 2 1 2 级 数 (a 0时发散） a = b = 0时绝对收敛，a = b 0时条件收敛
解:a≠b aba·2n-b·(2n-1) 2n-12n (2n-1)2n (a-b)·2n+b(a-b) b 十 2n-1)2n(2n-1)2n(2n-1) b ∑发散∑ b收 敛 2n 2n(2n-1) ≠b时级数发散
解：a b n b n a un 2 1 2 − − = n n a n b n (2 1)2 2 (2 1) − − − = n n a b n b (2 1)2 ( ) 2 − − + = (2 1) 2 (2 1) ( ) − + − − = n n b n a b 发散， 收 敛 − − − 1 2 1 1 2n(2n 1) b n a b a b时级数发散
1若∑un-n-1收敛,正项级数∑vn收敛, 证明∑unn收敛 证明∷∑n-Ln-1收敛∴Σ(an-un-1)收敛 →lim n n→0 又Sn= 十 ∴+L-L → lim s=lim(Un-bo)=s→limn=S+ n→0 un≤M又:unvn≤Mvn 由∑vn收敛→∑unvn绝对收敛→∑unv收敛
. 11. 1 1 1 1 证 明 收 敛 若 收敛，正项级数 收敛， − − n n n n n u v u u v 证明： 收敛 − − 1 un un 1 收敛。 − − 1 1 ( ) un un s s n n = → lim n = u1 − u0 + u2 − u1 + + un − un−1 又s = un − u0 s u u s n n n n = − = → → lim lim( ) 0 0 lim un s u n = + → un M n n Mvn 又 u v 由 收 敛 绝对收敛 收敛。 1 1 1 n n n n n v u v u v
练习题 、选择题 1、下列级数中,收敛的是(). (A)∑ ∑ n=1 (C∑ D)∑(-1)” n=1 n=1 2、下列级数中,收敛的是() (A)∑ (B)∑()y21; n=1 ∑(n"e",∑+y
一、选择题 : 1、下列级数中,收敛的是( ). (A) =1 1 n n ； (B) =1 1 n n n ； (C) =1 3 2 1 n n ； (D) = − 1 ( 1) n n . 2、下列级数中,收敛的是( ). (A) 1 1 ) 4 5 ( − = n n ； (B) 1 1 ) 5 4 ( − = n n ； (C) 1 1 1 ) 4 5 ( 1) ( − = − − n n n ； (D) = − + 1 1 ) 5 4 4 5 ( n n . 练 习 题