微分方程 习题课(
微分方程 习题课(一)
典型例题 例1求通解 y(xcos+sin dx=x(sin -xcos 'dy 解原方程可化为 cos=+=sin ry SIn cos
典型例题 ( cos sin ) ( sin cos )dy. x y x x y dx x y x y y x y y x + = − 例1 求通解 解 原方程可化为 ), sin cos cos sin ( x y x y x y x y x y x y x y dx dy − + =
令u=y,y=x,y=l+.代入原方程得 cosu+using u+ru 分离变量 usina- cosu LsmL一cosL 两边积分 ucos u C In(ucosu)=Inx+In C, . ucos u y y cos ,所求通解为xy cos
, x y 令 u = y = ux, y = u + xu . 代入原方程得 ), sin cos cos sin ( u u u u u u u xu u − + + = , 2 cos sin cos x dx du u u u u u = − 分离变量 两边积分 ln( cos ) ln ln , 2 u u = x + C − cos , 2 x C u u = cos , 2 x C x y x y = 所求通解为 cos C. x y xy =
例2求通解x+2=3x 解原式可化为y+-y=3x2y3,伯努利方程 即y3y+y3=3x2 原式变为-3z+-z=3x2, 2 即 L 3x Z=-X 阶线性非齐方程 7 方程的通解为 3 x3+cx 1-a)P(x)dx ∫c(x)1-a) (1-a)P(x)dx dx+C)
2 3 . 3 4 3 例2 求通解 xy + y = x y 解 原式可化为 3 , 2 3 4 2 y x y x y + = 3 , 2 3 2 1 3 4 y x x y y + = − − 即 , 3 1 − 令 z = y 原式变为 3 , 2 3 2 z x x − z + = , 3 2 2 z x x 即 z − = − 方程的通解为 一阶线性非齐方程 伯努利方程 . 7 3 3 2 3 7 3 1 y = − x + Cx − ( ( )(1 ) ). (1 ) ( ) (1 ) ( ) 1 + − = = − − − − e Q x e dx C y z P x d x P x d x
例3求通解 2x 3x dx dy=0. ap a2x 6x 解 ay ay y 0Q_0y2-3x 6x )= (y≠0) ax ax aP 80 av ax ,方程为全微分方程
0. 2 3 4 2 2 3 = − + dy y y x dx y x 例3 求通解 解 ) 2 ( 3 y x y y P = , 6 4 y x = − ) 3 ( 4 2 2 y y x x x Q − = , 6 4 y x = − ( y 0 ) , x Q y P = 方程为全微分方程