多元函数微分法 及其应用 习题课()
多元函数微分法 及其应用 习题课(一)
x y 1、设f(x,y) x++ x+12,(x,y)≠(0 求函数 (x,y)=(0,0) f(x,y)在点(0,0)沿着任一方向cosa,co)方向导数 解:∫(x,y)不可微,只能用定义。 △x+△y+ △x°△y af =im ∫(△x,△y)-f(0,0) △x4+△ m Olp→0 p cos a cos pcos+ pcos B+44220 p cosa+p cos B m →>0 P =cosa+cos月
在 点 沿着任一方向 的方向导数。 、 设 求函数 = + + + = ( , ) (0,0) cos ,cos 0 ,( , ) (0,0) ,( , ) (0,0) 1 ( , ) 4 2 3 f x y x y x y x y x y x y f x y 解： f (x, y)不可微，只能用定义。 ( , ) (0,0) lim 0 f x y f l f − = → 4 2 3 0 lim x y x y x y + + + = → 4 4 2 2 4 3 0 cos cos cos cos cos cos lim + + + = → = cos + cos
2.证明函数 f(,y) (x2+y)sin-22,(x,y)≠(0,0 (x,y)=(0,0) 在点(0,0)可徼,但偏导数不连续。 3、求函数的一阶偏导数: f(x,y)={x2+ x t y r ty= 4、设u=f(x,z),而z(x,y是由方程z=x+yq(z)所 确的函数,求de
2．证明函数 = + + = 0 , ( , ) (0,0) ,( , ) (0,0) 1 ( )sin ( , ) 2 2 2 2 x y x y x y x y f x y 在点（0，0）可微，但偏导数不连续。 3、求函数的一阶偏导数: + = + = + 0 0 0 ( , ) 2 2 2 2 2 2 2 x y x y x y x y f x y . 4、设u = f (x,z),而z(x, y)是由方程z = x + y(z)所 确的函数,求du
2xy 3、f(x,y)=1(x2+y2)2 +y≠0 0,x2+y2=0 r x 3+p,2 ≠0 2 f(x,y)={(x2+y 2 x t y 0 4、(f1 f f() y9(z-1 yp(2)-1
+ = + + − = 0 , 0 , 0 ( ) ( ) ( , ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x y x y x x y f x y y . 4、 d y y z f z d x y z f f ( ) 1 ( ) ) ( ) 1 ( 2 2 1 − − − − . 3、 , 0, 0 , 0 ( ) 2 ( , ) 2 2 2 2 2 2 2 3 + = + = + x y x y x y xy f x y x
5、设(3x2y2-2xsiy)dx+(x2cosy+bx3y)dy是 某个二元函数u(x2y)的全微分,试求a,b的量 6、设u=f(x,y,z),又y=(x,),t=Y(x,,且这些函数均 可微,求 解 ou= 3x'y-naxsiny;n=x cosy+ bx y y au 6x y-2axcosy;o=2x cos y+3bx y axd Vox au au a=-1,b=2. axay ayax X 6解a4=9+910@ axax ay ax at ax
5、 设( 3x2 y 2 – 2 a xsiny ) dx + ( x2 cosy+bx3 y ) dy 是 某个二元函数 u(x,y)的全微分，试求 a, b 的量。 6、 设 u=f(x,y,z), 又 y=(x,t), t=(x,z)，且这些函数均 可微，求 xu . , 1 , 2 . 6 2 cos ; 2 cos 3 ; 5 3 2 sin ; cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 = − = = = + = − = + = − a b y xu x yu x y b x y y xu x y a x y x yu x y b x y yu x y a x y xu 、解 6 [ ] xt ty xy yf xf xu + + = 、解 z y x xt x z u