第十节二阶常系数非齐次 线性微分方程 f(x)=ePn(x)型 巴二、f(x)=eP(x)c0sox+P(x) sin ax型 四三、小结思考题
一、f(x)=ePn(x)型 y"+py2+qy=∫(x)二阶常系数非齐次线性方程 对应齐次方程y"+py2+gy=0, 斗通解结构y=Y+P 常见类型Pn(x),P(x)ex, 王P( re cos Bi Pn( ax x)esin负x, 牛难点:如何求特解?方法:待定系数法 上页
y + py + qy = f (x) 二阶常系数非齐次线性方程 对应齐次方程 y + py + qy = 0, 通解结构 y = Y + y, 常见类型 P (x), m ( ) , x mP x e P (x)e cos x, x m P (x)e sin x, x m 难点：如何求特解？ 方法：待定系数法. f (x) e P (x) m x 一、 = 型
设非齐方程特解为y=Q(x)e代入原方程 Q"(x)+(2+p)Q(x)+(7+p+q)Q(x)=Pmn(x) (1)若不是特征方程的根,22+p+q≠0, 可设Q(x)=Qn(x,y=Qn(x)e“; (2)若花是特征方程的单根, 22+p+q=0,2+p≠0, 可设Q(x)=xQn(x),y=xQn(x)e; 上页
设非齐方程特解为 x y Q x e = ( ) 代入原方程 ( ) (2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 Q x + + p Q x + + p + q Q x = Pm x (1) 若不是特征方程的根， 0, 2 + p + q Q(x) Q (x), 可设 = m (2) 若是特征方程的单根， 0, 2 + p + q = 2 + p 0, Q(x) xQ (x), 可设 = m ( ) ; x m y Q x e = ( ) ; x m y xQ x e =
(3)若花是特征方程的重根, 22+p+q=0,22+p=0, 可设Q(x)=x2Qn(x),卩=xQn(x)lx 综上讨论 「0不是根 工工工 设y=xeQn(x),k={1是单根, 2是重根 牛注意上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性 微分方程(k是重根次数) 上页
(3) 若是特征方程的重根， 0, 2 + p + q = 2 + p = 0, ( ) ( ), 2 可设Q x = x Qm x 综上讨论 y x e Q (x) , m k x 设 = = 是重根 是单根 不是根 2 1 , 0 k 注意 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性 微分方程（k是重根次数）. ( ) . 2 x m y x Q x e =
特别地y"+py+gy=Ae e4,λ不是特征方程的根 2+p o2+q y xe是特征方程的单根 2+p 2x 2 e 九是特征方程的重根 上页
特别地 x y py qy Ae + + = + + + = 是特征方程的重根 是特征方程的单根 不是特征方程的根 x x x x e A xe p A e p q A y 2 2 2 , 2