第六节高斯( Gauss)公式 通量与散度 四一、高斯公式 简单的应用 四三、物理意义一通量与散度 巴四、小结思考题
生一、高斯公式 设空间闭区域Q由分片光滑的闭曲面Σ围成 王函数P(x3)、Q(x,:)、R(xy2在上具有 阶连续偏导数,则有公式 OP 00 OR ax可hp=JPh+Qhd+Rh 庄∫ ∑ 工工工 或 aP a0 OR aetat az)o (p cos al+ ocos B+ rcos y ds 上页
设空间闭区域由分片光滑的闭曲面Σ围成, 函数P( x, y,z)、Q( x, y,z)、R( x, y,z)在 上具有 一阶连续偏导数, 则有公式 = + + + + dv Pdydz Qdzdx Rdxdy z R y Q x P ( ) 一、高 斯 公 式 P Q R dS dv z R y Q x P ( cos cos cos ) ( ) = + + + + 或
这里∑是的整个边界曲面的外侧, 黑cosa,cos月,cosy是Σ上点(x,y,x)处的法向 量的方向余弦 证明设闭区域Ω在面xOy 上的投影区域为D ry cΣ由Σ1,∑和Σ,三部分组成 Q Σ1:3=x1(x,y) ∑ 工工 Σ2了=2(x,y) ∑ 3 上页
这里是的整个边界曲面的外侧， cos,cos ,cos 是上点(x, y,z)处的法向 量的方向余弦. 证明 设闭区域在面xoy 上的投影区域为Dxy. x y z o 由1 ,2和3三部分组成, ( , ) 1 : 1 z = z x y ( , ) 2 : 2 z = z x y 3 1 2 3 Dxy
根据三重积分的计算法 OR d=』 2(x,)aR dz ]dxdy oz D x,y)az ∫x,y,a(x,y)-lx,,z(x,y)d小 根据曲面积分的计算法 Σ取下侧,Σ2取上侧,Σ3取外侧) ∫(x,)d=-』xyz(x,y)d, 上页
根据三重积分的计算法 dz dxdy z R dy z R Dxy z x y z x y = { } ( , ) ( , ) 2 1 { [ , , ( , )] [ , , ( , )]} . = 2 − 1 Dxy R x y z x y R x y z x y dxdy 根据曲面积分的计算法 ( , , ) [ , , ( , )] , 1 1 = − Dxy R x y z dxdy R x y z x y dxdy (1取下侧, 2取上侧, 3 取外侧)
生∫x3)的=x3( 2 R(x,y,孔)dcd小y=0 牛于是∫R(x,)d ∑ =Rx,2(x,-{x,y,x(x,)d D xy OR 巾引R(x,y,x)dd z 上页
( , , ) [ , , ( , )] , 2 2 = Dxy R x y z dxdy R x y z x y dxdy { [ , , ( , )] [ , , ( , )]} , = 2 − 1 Dxy R x y z x y R x y z x y dxdy 于是 R(x, y,z)dxdy ( , , ) 0. 3 = R x y z dxdy ( , , ) . = dv R x y z dxdy z R