第六节欧拉一柯西近似法 方向场积分曲线 巴二、欧拉-柯西近似法 巴三、小结
庄一、方向场积分曲线 阶微分方程y=f(x,y) 定义1设(1)中右端的函数f(x,y)在区域D内 上有定义,那么过D内每一点M(x,)作一条以 f(x,y)为斜率的直线,并把向量 z(x,y)={1,∫(x,y)} 所指的方向定义为直线的方向这样,对于D内 王每点x”方程()都确定一个方向与之对应 于是我们说方程(1)在D内确定了一个方向场 上页 圆
一、方向场 积分曲线 设(1)中右端的函数f (x, y)在区域D 内 有定义，那么过D 内每一点M(x, y) 作一条以 f (x, y)为斜率的直线，并把向量 (x, y) = {1, f (x, y)} 所指的方向定义为直线的方向.这样，对于D 内 每一点 (x, y),方 程(1)都确定一个方向与之对应， 于是我们说方程(1)在D内确定了一个方向场． 一阶微分方程 y = f (x, y) (1) 定义1
过D内任一点M(x,y),做一个以M为起点 长度等于λ的向量 "(x,y)= 2{1,f(x,y)} √1+[f(x,y) 如图所示, 可形象地表示方向场. 上页
过D内任一点M(x, y),做一个以M为起点 长度等于的向量 {1, ( , )} 1 [ ( , )] ( , ) 2 0 f x y f x y x y + = 如图所示, 可形象地表示方向场. o x y
定义2方向场中具有同一方向(y=C)的点 的轨迹叫做方程(1)的等斜线 等斜线的方程为f(x,y)=C 在这条等斜线上的各点处x"= 1+c1,C 方向场画法适当画出若干条等斜线,再在每条 等斜线上适当选取若干个点画出对应的向量 Az,这样即可画出这个方向场 上页
定义2 等斜线的方程为 f (x, y) = C. 在这条等斜线上的各点处 {1, } 1 2 0 C + C = 方向场中具有同一方向( y = C) 的 点 的轨迹叫做方程(1)的等斜线． 方向场画法 适当画出若干条等斜线,再在每条 等斜线上适当选取若干个点画出对应的向量 0 ,这样即可画出这个方向场
上例1画出方程y=√x2+p所确定的方向 场示意图 解方程的等斜线为x2+y2=C, 牛取C=0,05,152, 画出五条等斜线,再在 牛每条等斜线上适当选取 若干个点画出对应的向 量z",如图方向场 上页
例1 画出方程 2 2 y = x + y 所确定的方向 解 方程的等斜线为 , 2 2 x + y = C 取 C = 0, 0.5, 1, 1.5, 2, 画出五条等斜线, 再在 每条等斜线上适当选取 若干个点画出对应的向 量 0 ,如图方向场. o x y 场示意图