第二节数量积向量积·混合积 a·a=lal2cos0=lal2. (2)对于两个非零向量a、b,如果a·b=0,那么a⊥b:反之，如果a⊥b,那 么a·b=0. 这是因为如果a·b=0,由于1a1≠0,1b1≠0，所以c0s0=0,从而0=牙，即 a1b:反之，如果a1b,那么0=号，cos0=0,于是a·b=la1b1cos0=0. 由于可以认为零向量与任何向量都垂直，因此，上述结论可叙述为：向量 a⊥b的充分必要条件是a·b=0. 数量积符合下列运算规律： (1)交换律a·b=b·a 证根据定义有 a·b=1allb1cos(a,b),b·a=lb1 lalcos(b,a) lallbl =1bllal,cos (a,b)cos (b,a) 所以 a·b=b·a. (2)分配律(a+b)·c=a·c+b·c. 证当c=0时，上式显然成立；当c≠0时，有 (a+b).c=IcIPri (a+b), 由投影性质2，可知 Prje(a+b)=Prja+Prj b, 所以 (a+b).c lcl(Prj a+Prjb)lclPrj,a+lclPrjb =a·c+b·c. (3)数量积还符合如下的结合律： (Aa)·b=A(a·b),A为数 证当b=0时，上式显然成立；当b≠0时，按投影性质3，可得 (Aa)·b=IbPj,(Aa)=Ib1AP可ja=AlbIPrjsa=A(a·b) 由上述结合律，利用交换律，容易推得 a·(Ab)=A(a·b)及(Aa)·(b)=A4(a·b) 这是因为 a·(Ab)=(Ab)·a=A(b·a)=A(a·b); ·15
第八章向量代数与空间解析几何 (Aa）·(ub)=A[a·(ub)]=A[u(a·b)]=u(a·b). 例1试用向量证明三角形的余弦定理. 证设在△ABC中，∠BCA=0(图8-20)， IBC1=a,ICAI=b,IAB1=c,要证 c2=a2+b2-2abcos 8. 记CB=a,CA=b,AB=c,则有 c=a-b, 从而 lc2=c·c=(a-b)·(a-b)=a·a+b·b-2a·b 图8-20 lal2 +1b12-2lallblcos (a,b). 由1al=a,1b1=b,1cl=c及(a,b)=,即得 c2=a2+b2-2abcos 0. 下面我们来推导数量积的坐标表示式. 设a=a,i+a,j+a,k,b=b,i+b,j+b,k.按数量积的运算规律可得 a·b=(a,i+a,j+ak)·(b,i+b,j+bk) =a,i·(b,i+b,j+b,k)+a,j·(b,i+b,j+b,k)+ak·(b,i+b,j+b,k) =a,b,i·i+a,b,i·j+a,bi·k+ a,b,j.i+a,b,j·j+a,bj·k+ abk·i+a,bk·j+a.b.k·k. 因为i、j和k互相垂直，所以i·j=j·k=k·i=0,j·i=k·j=i·k=0.又因 为i、j和k的模均为1，所以i·i=j·j=k·k=1.因而得 a·b=a,b.+a,b,+a,b 这就是两个向量的数量积的坐标表示式. 因为a·b=lallb1cos0,所以当a与b都不是零向量时，有 将数量积的坐标表示式及向量的模的坐标表示式代入上式，就得 a,b,+a,b,+a,b, c0s8= √a+a,+a6+b+b 这就是两向量夹角余弦的坐标表示式. 例2已知三点M(1,1,1)、A(2,2,1)和B(2,1,2),求∠AMB. 解作向量M及MB,∠AMB就是向量M与M店的夹角.这里，M三 (1,1,0).Mi=(1,0,1),从而 ·16
第二节数量积向量积·混合积 Mi.MB=1x1+1×0+0×1=1, M=+12+02=2,1MB1=+02+1下=2 代入两向量夹角余弦的表达式，得 MA.MB 1 co2·2号 由此得 ∠AWB=号 例3设液体流过平面S上面积为A的一个区域，液体在这区域上各点处 的流速均为（常向量）。.设n为垂直于S的单位向量（图8-21(a),计算单位 时间内经过这区域流向n所指一侧的液体的质量m(液体的密度为). (b) 图8-21 解单位时间内流过这区域的液体组成一个底面积为A,斜高为)的斜柱 体（图8-21(b)).这柱体的斜高与底面的垂线的夹角就是v与n的夹角0，所以 这柱体的高为lv1cos0,体积为 A1D1cos0=AD·n. 从而，单位时间内经过这区域流向n所指一侧的液体的质量为 m=pAp·n. 二、两向量的向量积 在研究物体转动问题时，不但要考虑这物体所受的力，还要分析这些力所产 生的力矩。下面就举一个简单的例子来说明表达力矩的方法. 设O为一根杠杆L的支点.有一个力F作用于这杠杆上P点处.F与OP的 ·17·
第八章向量代数与空间解析几何 夹角为0（图8-22），由力学规定，力F对支点0的力矩是一向量M,它的模 IMI =1001IFI =IOPIIFIsin 0, 而M的方向垂直于OP与F所决定的平面，M的指向是按右手规则从OP以不超 过π的角转向F来确定的，即当右手的四个手指从O以不超过石的角转向F 握拳时，大拇指的指向就是M的指向（图8-23）， F 0 M-OPXF 图8-22 图8-23 这种由两个已知向量按上面的规则来确定另一个向量的情况，在其他力学 和物理问题中也会遇到.于是从中抽象出两个向量的 向量积概念 设向量c由两个向量a与b按下列方式定出： c的模Icl=lallb1sin6,其中6为a,b间的夹角： c的方向垂直于a与b所决定的平面（即c既垂直于 a,又垂直于b),c的指向按右手规则从a转向b来确 定（图8-24），向量c叫做向量a与b的向量积，记作 a×b,即 c=axb. 图8-24 按此定义，上面的力矩M等于O币与F的向量积，即 M=OP x F 由向量积的定义可以推得： (1)a×a=0. 这是因为夹角0=0，所以1a×al=1al'sin0=0. (2)对于两个非零向量a、b,如果a×b=0,那么a∥b:反之，如果a∥b,那么 a×b=0. 这是因为如果a×b=0,由于1al≠0,b1≠0，那么必有sin0=0,于是8=0 或T,即a∥b:反之，如果a∥b,那么0=0或T,于是sin8=0,从而1a×b1=0. 即a×b=0. ·18
第二节数量积向量积·混合积 由于可以认为零向量与任何向量都平行，因此，上述结论可叙述为：向量 a∥b的充分必要条件是a×b=0. 向量积符合下列运算规律： (1)b×a=-a×b. 这是因为按右手规则从b转向a定出的方向恰好与按右手规则从a转向b 定出的方向相反.它表明交换律对向量积不成立 (2)分配律(a+b)×c=a×c+b×c. (3)向量积还符合如下的结合律： (Aa)×b=a×(Ab)=A(a×b)(A为数). 这两个规律这里不予证明. 下面来推导向量积的坐标表示式 设a=a,i+aj+ak,b=b,i+bj+b.k.那么，按上述运算规律，得 a×b=(a,i+aj+ak)×(b,i+bj+bk) =a,i×(b,i+bj+bk)+ aj×(b,i+bj+bk)+ak×(b,i+bj+b,k =a,b.(i×i)+a,b,(ixj)+a,b,(i×k)+ a,b.j×i)+a,b,(j×j)+a,b,(j×k)+ a,b.(k×i)+a,b,(k×j)+ab.(k×k) 因为i×i=jxj=k×k=0、ixj=k、j×k=i、k×i=j,j×i=-k、k×j=-i和 i×k=-j,所以 a xb (a,b,-ab,)i+(a,b,-a,b,)j+(a,b,-a,b,)k. 为了帮助记忆，利用三阶行列式，上式可写成 i j k a×b=a,a,a b,b,b 例4设a=(2,1,-1),b=(1,-1,2),计算a×b. i j k 袋 a×b=21-1=i-5j-3k. 1-12 例5已知三角形ABC的顶点分别是A(1,2,3)、B(3,4,5)和C(2,4,7), 求三角形ABC的面积. 解根据向量积的定义，可知三角形ABC的面积 SAc=21A1MC1 sin ZA=之1A店xAC. .19