第八章向量代数与空间解析几何 r=0i=0P+00+0R. 按勾股定理可得 1rl=I0M1=√10P2+10QI2+1O 由0=xi,00=j,0尿=k,有 1OPI=Ixl,1001=lyl,IORI =I=1, 于是得向量模的坐标表示式 r川=√+y2+ 设有点A(x1,y,)和点B(x2,y2,2),则点A与点B间的距离1AB1就是向 量AB的模.由 A店=0B-0A=(x2y2,2）-(x111) =(2-x1,为-为2-）， 即得A、B两点间的距离 1AB1=1ABI=√(x-x)+(3-)广+(-) 例4求证以M,(4,3,1)、M(7,1,2)、M,(5,2,3)三点为顶点的三角形是 一个等腰三角形. 解因为 1M,M212=(7-4)2+(1-3)2+(2-1)2=14, 1M,M12=(5-7)2+(2-1)2+(3-2)2=6. 1M,M,12=(4-5)2+(3-2)2+(1-3)2=6 所以1M,M,I=IM,M,1,即△M,M,M,为等腰三角形. 例5在z轴上求与两点A(-4,1,7)和B(3,5,-2)等距离的点. 解因为所求的点M在：轴上，所以设该点为M(0,0,),依题意有 IMAI IMBI, 即 √(0+4)+(0-1)2+(2-7)=√(3-0)+(5-0)2+(-2-) 两边平方，解得 14 29 因此，所求的点为0.0. 例6已知两点A(4,0,5)和B(7,1,3),求与店方向相同的单位向量 解因为 AB=0-0i=(7,1,3)-(4.0,5)=(3,1,-2) 所以 ·10·
第一节向量及其线性运算 AB1=√3+12+(-2)7=√14 于是 AB 与调房12 2.方向角与方向余弦 非零向量，与三条坐标轴的夹角αB,y称为向量 r的方向角.从图8-15可见，设0=r=(x,y,2),由于 x是有向线段OP的值，MP⊥OP,故 cos a=oM= 类似可知 mB=六，y=斤 图8-15 从而 (ca.B.)=-(情六司=y,)==e cosa,cosB,cosy称为向量r的方向余弦.上式表明，以向量r的方向余弦 为坐标的向量就是与，同方向的单位向量e,·并由此可得 cos'a cos'B+cos'y=1. 例7已知两点M,(2,2,√2)和M,(1,3,0),计算向量M,M的模、方向余弦 和方向角 解M,M=(1-2,3-2,0-√2)=(-1,1，-2)， 1M,M1=√(-1)2+12+(-2)2=√个+1+2=4=2： ma分，mB=文，my=-9 aB=号y=要 例8设点A位于第I卦限，向径0与x轴轴的夹角依次为于和牙，且 01=6,求点A的坐标. 解a=号，B=由关系式cosa+cosB+cosy=l,得 msy=1-(2-(9=4 11
第八章向量代数与空间解析几何 因点A在第I卦限，知cosy>0,故 cos y=2 于是 oi=oiea=6}=8,3.3 这就是点A的坐标. 3.向量在轴上的投影 如果撇开y轴和z轴，单独考虑x轴与向量r=O1的关系，那么从图8-15 可见，过点M作与x轴垂直的平面，此平面与x轴的交点即是点P.作出点P,即 得向量r在x轴上的分向量OP,进而由OP=xi,便得向量在x轴上的坐标x,且 x =Irlcos q. 一般地，设点0及单位向量e确定u轴（图8-16）. 任给向量r,作Oi=r,再过点M作与u轴垂直的平面 交u轴于点M'(点M'叫做点M在u轴上的投影)， 则向量0M称为向量r在u轴上的分向量.设0M= Ae,则数A称为向量r在u轴上的投影，记作P可.r 或(r). 按此定义，向量a在直角坐标系Oxyz中的坐标 图8-16 a,、a,a,就是a在三条坐标轴上的投影，即 a,Prj,a.a,=Prj,a,a.Prj.a 或记作 a,=(a),a,=(a）,a,=(a) 由此可知，向量的投影具有与坐标相同的性质： 性质1P可j.a=lalcos(即(a).=lalcoso),其中p为向量a与u轴的 夹角： 性质2Pmj.(a+b)=Pj.a+Pj.b(即(a+b).=(a).+(b).): 性质3Prj.(Aa)=APrj.a(即(Aa).=A(a).). 例9设正方体的一条对角线为OM,一条棱为OA 且10A1=a,求OA在Oi方向上的投影PrjoOA. ①向量r在向量a(a≠0)的方向上的投影Pm,r是指r在某条与a同方向的轴上的投影。 ·12·
第一节向量及其线性运算 解如图8-17所示，记∠M0A=p,有 10A1-1 cos-10M13' 于是 Po:aioe=后 图8-17 习题8-1 1.设u=a-b+2c,=-a+3b-c.试用ab.c表示2-3 2.如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平行四边形。 3.把△ABC的BC边五等分，设分点依次为D,D,、D,D,再把各分点与点A连接.试以 A店=cBC=a表示向量D,AD,AD,和D,. 4.已知两点M,(0,1,2)和M,(1,-1,0).试用坐标表示式表示向量M,及-2M, 5.求平行于向量a=(6,7,-6)的单位向量. 6.在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ A(1,-2,3),B(2,3,-4),C(2.-3,-4),D(-2,-3.1) 7.在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置： A(3.4,0),B(0,4,3),C(3,0,0).D(0,-1,0) 8.求点(a,b,c)关于(1)各坐标面：(2)各坐标轴：(3)坐标原点的对称点的坐标 9.自点P,(x。)分别作各坐标面和各坐标轴的垂线，写出各垂足的坐标 10.过点P,(x)分别作平行于：轴的直线和平行于x0y面的平面.问在它们上面 的点的坐标各有什么特点？ .一边长为的正方体放置在x0面上，其底面的中心在坐标原点，底面的顶点在x轴 和y轴上，求它各顶点的坐标. 12.求点M(4,-3,5)到各坐标轴的距离. 13.在y0:面上，求与三点A(3,1,2)B(4,-2,-2)和C(0,5,1)等距离的点 14.试证明以三点A(4,1,9).B(10,-1,6)、C(2,4,3)为顶点的三角形是等腰直角三 角形。 15.设已知两点M,(4,2,1)和M,(3,0,2),计算向量M,的模，方向余弦和方向角 16.设向量的方向余弦分别满足(1)cosa=0:(2)cosB=1:(3)csa=sB=0,问这 些向量与坐标轴或坐标面的关系如何？ 17.设向量r的模是4，它与“轴的夹角是三，求r在轴上的投影。 18.一向量的终点在点(2，-1,7)，它在x轴y轴和：轴上的投影依次为4，-4和7 求这向量的起点A的坐标 19.设m=3i+5j+8k,n=2i-4j-7k和p=5i+j-4k,求向量a=4m+3n-p在x轴上 ·13
第八章向量代数与空间解析几何 的投影及在y轴上的分向量。 第二节数量积向量积·混合积 一、两向量的数量积 设一物体在恒力F作用下沿直线从点M,移动到点M,以s表示位移 M,M.由物理学知道，力F所作的功为 W=0, 其中0为F与s的夹角（图8-18）. 从这个问题看出，我们有时要对两个向量α和b作这样的运算，运算的结果 是一个数，它等于Ial、Ib1及它们的夹角0的余弦的乘积.我们把它叫做向量a 与b的数量积，记作a·b(图8-19)，即 a·b=lal lb1cosa. M a 图8-18 图8-19 根据这个定义，上述问题中力所作的功W是力F与位移s的数量积.即 W=F·s. 由于1b1cos0=1b1cos(a,b),当a≠0时是向量b在向量a的方向上的投 影，用P可jb来表示这个投影，便有 a·b=lalPrj.b, 同理，当b≠0时有 a·b=IbIPri.a. 这就是说，两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方 向上的投影的乘积. 由数量积的定义可以推得： (1)a·a=lal2. 这是因为夹角0=0，所以 ·14·