例■例1：无限循环群《Z,+)Z,+)是循环群，恰有2个生成元：1和一1：n为Z之生成元 Z=<n)(k E Z)nk =1 ≤ (k E Z)(k· n = 1) ←n E(1,-1)：1和一1均是其生成元
6 例
例例2：有限循环群模6剩余加群《Z6,④6)是循环群，恰有2个生成元：1和550 = 0, 51 = 5, 52 = 4,53 = 3, 54 = 2, 55 = 1
7 例
例例3：三非循环群Klein四元群(V,*)不是循环群，因为对任何x E V, <x) =(e,x}:b*eacbeeacbaecabcea0eCCa
8 例
无限循环群的生成元命题：若a是无限循环群的生成元，则a-1也是该无限循环群的生成元>设群G =(a)=(akaEG,k E Z),ak =(a-1)-k， 令p =-k, 则G ={(a-1)Plp E Z)， 故G =<a-1)
9 无限循环群的生成元
无限循环群的生成元（续）10命题：无限循环群有且只有2个生成元：设群G=(a)=(αkaEG,k EZ)，若b亦为G的生成元，则：(日m,t EZ)(am = b^bt =a)，故a= bt =(am)t =amt，由消去律，amt-1 =ea是无限阶元:mt-1=0=(m=t=1)v(m = t =-1)， 故有b =a或者b = a-1
10 无限循环群的生成元（续）