《矩阵理论—知识点详解》第三章 矩阵的分解（3.2）矩阵的谱分解

§2矩阵的谱分解 单纯矩阵的谱分解 定义1设九1,42,…,是A∈C"的相异特征值, 其重数分别为1,r2,…,rk,则称n为矩阵的特 征值的代数重复度

§2 矩阵的谱分解 一、单纯矩阵的谱分解 定义 1 设 1 , 2 ,  , k 是 AC nn 的相异特征值， 代数重复度 其重数分别为r 1 ,r 2 ,  ,rk ,则 称ri 为矩阵A的 特 征值i 的

定义2齐次方程组4x=年1x(=1,2,…,k) 的解空间龙称为的对应于特征值的特征 空间,则吃的维数称为4的特征值的 几何重复度 定义3若矩阵A的每个特征值的代数重度 与几何重复度相等,贝矩阵为单纯矩阵

定义 2 Ax x (i 1,2, ,k) 齐次方程组 = i =  几何重复度 的解空间Vi 称为A的对应于特征值i 的特征 空间，则Vi 的维数称为A的特征值i 的 定义 3 与几何重复度相等，则称矩阵 为 若矩阵 的每个特征值的代数重复 度 A A 单纯矩阵

定理3设A∈C"是单纯矩阵,则可分解 为一系列幂等矩阵4(i=1,2,…,n)的加权和, A=∑44 其中,42(i=12,…,m)是4的特征值 证:A是单纯矩阵一A=Plig(x1,…,n)P-1

证： A是单纯矩阵 1 1 ( , , ) − A = Pdiag   n P 设 AC nn 是单纯矩阵，则A可分解  = = n i A i Ai 1  为一系列幂等矩阵Ai (i = 1,2,  ,n)的加权和， 定理3 其中， (i 1,2, ,n)是A的特征值. i = 

P=(m1,"2,…,"n),P=|0 A10 0 0 A=(v1,v2,…,Vn 0‖a2 00

( , , , ), 1 2 n P = v v  v               = − T n T T P     2 1 1                           = T n T T n n A v v v                2 1 2 1 1 2 0 0 0 0 0 0 ( , , , )

A=∑40=∑414其中A=vO i=1 p"p=b,-y-1:- 441y=(o)/v1o/)="(av)o Vi oi L=j A是幂等矩阵 0 ≠

 = = n i T i i i A v 1    = = n i i Ai 1  T i i i 其中, A = v  P P = En −1     = = i j i j v j T i 0 1  ( )( ) T j j T i j i i A A = v  v  T j j T i i = v ( v )      = = i j v i j T i i 0  Ai 是幂等矩阵