·16.第一章概率论的基本概念次，每次任取一只，作不放回抽样.设事件A为“第一次取到的是一等品”，事件B为“第二次取到的是一等品”.试求条件概率P（BIA)解易知此属古典概型问题。将产品编号，1，2，3号为一等品；4号为二等品.以（i，i）表示第一次、第二次分别取到第i号、第i号产品.试验E（取产品两次，记录其号码）的样本空间为S={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),"",(4,1),(4,2),(4,3)),A=((1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4)),AB=((1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)).按（5.2）式，得条件概率P(AB)_6/12_ 2P(B|A)=P(A)—9/12—3也可以直接按条件概率的含义来求P（B|A).我们知道，当事件A发生以后，试验E所有可能结果的集合就是A，A中有9个元素，其中只有（1，2），（1,3），（2，1），（2,3），（3，1），（3,2)属于B，故可得6-2P(BIA)=口9-3.（二）乘法定理由条件概率的定义（5.2），立即可得下述定理，乘法定理设P（A)>0，则有P(AB)=P(BIA)P(A).(5.3)（5.3）式称为乘法公式（5.3）式容易推广到多个事件的积事件的情况.例如，设A，B，C为事件，且P(AB)>0,则有P(ABC)=P(CIAB)P(B|A)P(A).(5. 4)在这里，注意到由假设P(AB)>0可推得P(A)≥P(AB)>0.一般，设A，A2,，A为n个事件，n≥2，且P（AA2A-1)>0,则有P(A,A,*.-A,)=P(A.A,A2.-A-)P(A,-1|A,A2 "-A-2)...P(A2 |A,)P(A,).(5.5)例3设袋中装有只红球，t只白球.每次自袋中任取一只球，观察其颜色然后放回，并再放入α只与所取出的那只球同色的球.若在袋中连续取球四次，试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率。解以A,（i=1,2，3,4）表示事件“第i次取到红球”，则A3、A分别表示事件第三、四次取到白球.所求概率为P(A,A,A,A)=P(A|A,A2A,)P(A|A,A)P(A2/A,)P(A,)
85条件概率·17:t+atr+a口r+t+3ar+t+2ar+t+ar+t例4设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打破的概率为1/2，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率为7/10，若前两次落下未打破，第三次落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未打破的概率，解以A（i=1，2，3)表示事件“透镜第i次落下打破”，以B表示事件“透镜落下三次而未打破”.因为B=A.A2A，故有P(B)=P(A,A,A,)=P(A,/AA,)P(A,|A)P(A)= (1)(1-0)(1)-2200另解，按题意B=A,UA,A, UA,A2A3.而A,A,A2，A,A2A是两两互不相容的事件，故有P(B)=P(A,)+P(AA)+P(A,A2A).2 P(A.IA,)-10,P(A/A,)只，即有已知P（A,）=10'P(AA2)=P(A2|A)P(A)(1号)=%210-20P(AA,A)-P(A|A,A,)P(A,IA)P(A,)-(1-1)(1-)-%200117127197P(B)=故得2+20+200-200197-3P(B)=1-口200-200（三）全概率公式和贝叶斯公式下面建立两个用来计算概率的重要公式.先介绍样本空间的划分的定义.定义设S为试验E的样本空间，B1，B2，，B，为E的一组事件.若(i)B,B,=O,ij,i,j=1,2,...,n;(i)B,UB2U...UB,-S,则称B，B2，，B，为样本空间S的一个划分.若B，B2，，B，是样本空间的一个划分，那么，对每次试验，事件B，B2，，B，中必有一个且仅有一个发生，例如，设试验E为“掷一颗般子观察其点数”它的样本空间为S=（1，2，3，4.5.6).E的一组事件B,=(1，2，3），B，=（4，5），B=（6)是S的一个划分.而事
.18:第一章概率论的基本概念件组C=(1，23），C=（3，4），C=（5，6不是S的划分定理设试验E的样本空间为S，A为E的事件，B，B2，B为S的一个划分，且P(B)>0（i=1,2，"，n），则P(A)=P(A/B,)P(B)+P(A/B,)P(B,)+...+P(A|B,)P(B,).(5.6)（5.6）式称为全概率公式，在很多实际问题中PA)不易直接求得，但却容易找到S的一个划分B1，B2，，B，且P(B,)和P（A/B,）或为已知，或容易求得，那么就可以根据（5.6）式求出P(A)证因为A=AS=A(B,UB,U.UB,)=AB,UAB,U...UAB.,由假设P(B,)>0(i=1,2,,n),且(AB,)(AB,)=0,j,i,j=1,2,,n得到P(A)=P(AB)+P(AB,)+...+P(AB,)=P(A/B,)P(B)+P(A/B2)P(B2)+.+P(A/B,)P(B,).口另一个重要公式是下述的贝叶斯公式，定理设试验E的样本空间为S.A为E的事件，B,,Bz，,B,为S的一个划分且P(A)>0,P(B,)>0（i=1,2，，n),则P(A /B,)P(B,)P(B,/A)=i=l,2,,n.(5.7)CP(A /B,)P(B,)（5.7）式称为贝叶斯（Bayes）公式证由条件概率的定义及全概率公式即得P(A LB,)P(B,)P(B,A)P(B,/A)口.i=1,2,.,nP(A)ZP(A / B,)P(B,)特别在（5.6)式，(5.7)式中取n=2，并将B，记为B此时Bz就是B，那么，全概率公式和贝叶斯公式分别成为P(A) = P(A I B)P(B)+P(AIB)P(B),(5.8)P(A 1B)P(B)P(AB)P(B/A)(5.9)P(A)P(AIB)P(B)+P(AIB)P(B)这两个公式是常用的。①在全概率公式和贝叶斯公式中，要求Bi，B2.…，B，是S的一个划分，将这一条件改为“B;B,，jij=1,2，…，n，且PBUB2U...UB,）=1"两个公式仍然成立
85条件概率19例5某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的.根据以往的记录有以下的数据：元件制造厂次品率提供元件的份额10.020.1520.010.8030.030.05设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志.（1）在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率；（2）在仓库中随机地取一只元件，若已知取到的是次品，为分析此次品出自何厂，需求出此次品由三家工厂生产的概率分别是多少.试求这些概率解设A表示“取到的是一只次品”，B，（i=1，2，3）表示“所取到的产品是由第i家工厂提供的”易知，B，B2，B是样本空间S的一个划分，且有P(B)=0.15,P(B2)==0.80,P(B)=0.05,P(A/B,)=0.02.P(A|B,)=0.01,P(AB)=0.03.（1）由全概率公式P(A)=P(A/B)P(B,)+P(A[B,)P(B)+P(A/B)P(B)=0.0125.（2）由贝叶斯公式P(B, /A)= P(ABP(B) = 0 02X0, 15=0. 4.P(A)0.0125P(B2|A)=0.64, P(BsIA)=0.12.以上结果表明，这只次品来自第2家工厂的可能性最大，口例6据美国的一份资料报导，在美国总的来说患肺癌的概率约为0.1%，在人群中有20%是吸烟者，他们患肺癌的概率约为0.4%，求不吸者患肺癌的概率是多少？解以C记事件“患肺癌”，以A记事件“吸烟”，按题意P（C)=0.001，P(A）=0.20,P(CIA）=0.004.需要求条件概率P(CIA）.由全概率公式有P(C)=P(CIA)P(A)+P(CIA)P(A)将数据代人，得0.001 ==0.004×0.20+P(CIA)P(A)=0.004X0.20+P(CIA)X0.80,P(CIA)=0.00025.口例7对以往数据分析结果表明，当机器调整得良好时，产品的合格率为
第一章概率论的基本概念.20.98%，而当机器发生某种故障时，其合格率为55%.每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为95%.试求已知某日早上第一件产品是合格品时，机器调整良好的概率是多少？解设A为事件“产品合格”，B为事件“机器调整良好”.已知P（A|B)=0.98,P(A/B)=0.55,P(B)=0.95,P(B)=0.05，所需求的概率为P(B|A).由贝叶斯公式P(A/B)P(B)P(B|A)=P(A/B)P(B)+P(A/B)P(B)0.98X0.95=0.97.0.98×0.95+0.55X0.05这就是说，当生产出第一件产品是合格品时，此时机器调整良好的概率为0.97这里，概率0.95是由以往的数据分析得到的，叫做先验概率.而在得到信息（即生产出的第一件产品是合格品）之后再重新加以修正的概率（即0.97）叫做后验概率，有了后验概率我们就能对机器的情况有进一步的了解，口例8根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下的效果：若以A表示事件“试验反应为阳性”，以C表示事件“被诊断者患有癌症”，则有P(A/C)=0.95，P(A/C)=0.95.现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.005，即P(C)=0.005，试求P(CIA).解已知P(A/C)=0.95,P(A/C)=1-P(A/C)=0.05,P(C)=0.005,P(C)=0.995，由贝叶斯公式P(A|C)P(C)P(CIA)==0.087.P(A/C)P(C)+P(A/C)P(C)本题的结果表明，虽然P(A|C)=0.95，P(A/C)=0.95，这两个概率都比较高但若将此试验用于普查，则有P（CIA）=0.087亦即其正确性只有8.7%（平均1000个具有阳性反应的人中大约只有87人确患有癌症）.如果不注意到这一点，将会得出错误的诊断，这也说明，若将P（A|C)和P（CIA)混淆了会造成不良的后果.口86独立性设A,B是试验E的两事件，若P(A)>0，可以定义P（BIA).一般，A的发生对B发生的概率是有影响的，这时P（B|A）≠P（B)，只有在这种影响不存在时才会有P（B|A）=P（B），这时有P(AB)=P(B|A)P(A)=P(A)P(B)例1i设试验E为“抛甲、乙两枚硬币，观察正反面出现的情况”设事件A