极坐标变换 x=rcos 0 y=rain 0<b<2,0≤r<+0 是我们十分熟悉的。除原点与正实轴外,它是一一对应的,这时 a(x, y)cose -sino a(r, 0) sin e rcos e 例13.3.3计算jsm(xx+y)dy,其中D=x,y)x2+y25y 解引入极坐标变换x=rcosθ,y=rsinθ,那么D对应于区域 D={(r,0)0≤r≤1,0≤6≤2π}。因此 sin(vx+y )dxdy=l(sin r /r drdo=(sin tr)drdo 0(r,6) del sin(tr)rdr=2
极坐标变换 xr yr = = ≤ ≤ ≤ <+ cos , sin , 0 2 θ θ θ π, 0 r ∞ 是我们十分熟悉的。除原点与正实轴外，它是一一对应的，这时 r r r r yx = − = ∂ ∂ θθ θθ θ sin cos cos sin ),( ),( 。 例 13.3.3 计算 2 2 sin(π x y xy + )d d ∫∫ D ，其中 2 2 D = {( , ) | 1} xy x y + ≤ 。 解 引入极坐标变换 xr yr = cos , sin θ = θ ，那么 D 对应于区域 ˆ D = ≤≤ ≤≤ {( , ) |0 1, 0 2 r r θ θ π }。因此 2 2 ˆ ˆ 2π 1 0 0 (, ) sin(π )d d (sin π ) d d (sin π )dd (, ) d sin(π )d 2 x y x y xy r r rrr r rrr θ θ θ θ ∂ + = = ∂ = = ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ 。 D D D
注严格说来,由于极坐标变换在原点与正实轴上不是一对一的 在应用变量代换公式时,应该去掉原点与正实轴,也就是说,应该用 以下方法来计算(积分区域如图13.3.5): sin(π√x2+y2drdy=li i(√x2+y2)dxdy=lin (Sinπr) )rdrd6 E→0 E→0 E≤x+y≤1 2π-E sln丌r lin de sin(ar)rdr= lim(2T-28) Os优r 2 x o c 图13.3.5
注 严格说来，由于极坐标变换在原点与正实轴上不是一对一的。 在应用变量代换公式时，应该去掉原点与正实轴，也就是说，应该用 以下方法来计算（积分区域如图 13.3.5）： 2 2 2 2 2 2 0 0 1 1 2π 2π sin(π )d d lim sin(π )d d lim (sin π )dd x y r x y xy x y xy rrr ε ε ε ε εθ ε εθ ε θ → → ≤+≤ ≤ ≤ ≤≤ − ≤≤ − += += ∫∫ ∫∫ ∫∫ D 1 2π 1 2 0 0 sin π lim d sin(π ) d lim(2π 2 ) cos π 2 . π π r r rrr r ε ε ε ε ε ε θ ε − → → ⎡ ⎤ = = − − + = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ ∫ θ y 2π − ε x ε O ε 1 r 图 13.3.5
这种方法的实质就是,在原积分区域D上挖掉包含非一一对应点 集的小区域,得到区域D,再将被积函数在D上的积分看作在D上的 积分当D趋于D时的极限。在了解这个原理之后,就不必每次都照此 办理,可直接仿照例题中的方法直接计算
这种方法的实质就是，在原积分区域D上挖掉包含非一一对应点 集的小区域，得到区域Dˆ ，再将被积函数在D上的积分看作在 Dˆ 上的 积分当Dˆ 趋于D时的极限。在了解这个原理之后，就不必每次都照此 办理，可直接仿照例题中的方法直接计算
例13.3.4求抛物面 x2+y2=az和锥面 2a-√x2+y2 z=2a-√x2+y2(a>0)所围成立 体的体积。 解易求得两曲面的交线在 y平面的投影的方程为 图13.36 x +y=a 设D={(x,y)|x2+y2≤a2},利用极坐标变换可得所求立体的体积为 x+ 2a-√x2+y dxdy= 2a rare D 0≤r<a 0≤6<2π d 0 2a-r rdr=2T 2a-r ral T
例 13.3.4 求抛物面 =+ azyx 22 和锥面 2 )0( 22 ayxaz >+−= 所围成立 体的体积。 解 易求得两曲面的交线在 xy 平面的投影的方程为 xya 22 2 + = 。 设 222 D = +≤ {( , ) | } xy x y a ，利用极坐标变换可得所求立体的体积为 2 2 2 2 2 d d x y a xy x y a ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ + ⎢ ⎥ −+ − ⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ∫∫D = 2 0 0 2π 2 d d r a r ar rr a θ θ ≤ ≤ ≤ ≤ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − − ⎝ ⎠ ∫∫ = 2 2π 0 0 d2 d a r ar rr a θ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − − ⎝ ⎠ ∫ ∫ = 2 0 2π 2 d a r ar rr a ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − − ⎝ ⎠ ∫ = 5 3 π 6 a 。 z za x y =− + 2 2 2 x y az 2 2 + = xya 222 + = o y x 图13.3.6