定理的证明放到下一段,现在先来看一看 Jacobi行列式的几何意 义和应用。 图13.32 设T,D满足本节开始时的假定,(n,”)是区域D中的一点,σ是 包含此点的具有分段光滑边界的小区域,并记d(o)为o的直径(见图 13.32)
定理的证明放到下一段，现在先来看一看 Jacobi 行列式的几何意 义和应用。 v σ )( 00 , vu O u y T σ)( O x 图 13.3.2 设T ，D满足本节开始时的假定， ),( 00 vu 是区域D中的一点，σ 是 包含此点的具有分段光滑边界的小区域，并记d( ) σ 为σ 的直径（见图 13.3.2）
那么由定理13.3.1和重积分的中值定理得 la(x,2y2dudv a(x y m17()= ·mO (a(u, v)(r s) 其中(r,s)为a中一点。因此 mT(o)a(x Im d(o) au,v 或等价地 m)~/(x) ma(d(o)→>0) au, v) 这说明x的几何意义为面积的比例系数。 (2y)
那么由定理 13.3.1 和重积分的中值定理,得 (, ) () dd (, ) x y mT u v u v σ σ ∂ = ∂ ∫∫ (,) (, ) (, ) r s x y m u v σ ∂ = ⋅ ∂ ， 其中 sr ),( 为σ 中一点。因此 ),( 0)( 00 ),( ),()( lim vu d vu yx m mT ∂ ∂ = → σ σ σ ， 或等价地 mT σ )( ～ mσ vu yx vu ⋅ ∂ ∂ ),( 00 ),( ),( （d σ → 0)( ）。 这说明 ),( ),( vu yx ∂∂ 的几何意义为面积的比例系数
例13.3.1计算曲线(x-y)2+x2=a2(a>0)所围区域D的面积。 解作变换x=u,x-y=,则曲线方程对应于n2+y2=a2。 图13.3.3 这个变换将左边的圆盘u2+12≤a2一一对应地映为右边的椭圆区 域D。由于 (x,y)_10 d(u, v) 因此D的面积为 S=「dcdy= 1a(x, ydudv dudy= ta D +1-<a a(u,v) n2+y2≤a2
例 13.3.1 计算曲线() () xy x a a − += > 22 2 0 所围区域D的面积。 解 作变换x = u, x − y v = ，则曲线方程对应于uv a 22 2 + = 。 v uv a 22 2 + = u O y ( ) xy x a − += 22 2 x O 图 13.3.3 这个变换将左边的圆盘 222 ≤+ avu 一一对应地映为右边的椭圆区 域 D。由于 1 11 01 ),( ),( −= − = ∂ ∂ vu yx ， 因此D的面积为 222 222 2 (, ) d d dd dd π (,) uva uva x y S xy uv uv a u v + ≤ + ≤ ∂ = = = = ∂ ∫∫ ∫∫ ∫∫ D
例13.3.2求双曲线x=p,=q与直线y=ax,y=bx在第一象限 所围图形的面积,其中q>p>0,b>a>0。 q P V=axx 图13.3.4
例 13.3.2 求双曲线xy = p x , y = q与直线 y = ax， = bxy 在第一象限 所围图形的面积，其中q p ba >> >> 0 0 , 。 y xy q = xy p = y bx = y ax = D O x 图 13.3.4 v b a p q u
解在变换x=u,2=下,区域D被一一对应地映为 D={(u2)p≤v≤q,a≤v≤b},这时有x 于是 a(x, y) uy a(0 2 因此,所求面积为 dxdy \a(x, duds= dv=du[ - dv=i(q-p)lr a(u, v)
解 在变换xy u y x = = , v 下，区域D被一一对应地映为 1 D = {( , ) | , } uv p u qa v b ≤≤ ≤≤ ，这时有 v u x = ， = uvy ，于是 v v u u v v u uv vu yx 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ),( ),( 3 = − = ∂ ∂ 。 因此，所求面积为 1 1 (, ) 1 1 1 1 d d d d d d d d ( )ln (,) 2 2 2 q b p a x y b x y uv uv u v q p uv v v a ∂ = = = =− ∂ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ D D D