第一章 函数与极限 §1.2函数的极限 一、数列的极限 二、函数的极限 极限是微积分学的灵魂，极限思想贯穿 于微积分学的始终
§1.2 函数的极限 一、数列的极限 第一章 函数与极限 二、函数的极限 极限是微积分学的灵魂，极限思想贯穿 于微积分学的始终
一、数列的极限 数列的概念： 一列（无穷多个)有序的数x,x2,.,m,.称为 数列。x称为通项（一般项） 定义：自变量取正整数的函数称为数列，记作 xn=f(n)或{xn}.xn称为通项（一般项）. 1 例1设数列xn=二， n=1,2,. 考察：当n→o,xn→？即求limx
一、数列的极限 定义:自变量取正整数的函数称为数列,记作 或 称为通项(一般项) . 数列的概念： 一列（无穷多个）有序的数 1 2 , , , , n x x x 称为 数列。 称为通项(一般项) 。 例1 设数列 1 , 1,2, n x n n = = 考察：当 , ? n n x → → 即求 lim n n x →
例2设数列 x=(-10” n=1,2,. 之 考察：当noo,x,→？即求limx。 n00 例3 设数列x,=1-() n=1,2,. 2n 考察：当n→o,xn→？即求lim x。 通过以上三例的讨论，你能够得到 什么启示？
例2 设数列 ( ) 1 1 , 1, 2, n n x n n = − = 考察：当 , ? n n x → → 即求 lim n n x → 。 例3 设数列 1 ( 1) , 1,2, 2 n n x n n − − = = 考察：当 , ? n n x → → 即求 lim n n x → 。 通过以上三例的讨论，你能够得到 什么启示？
定义1设有数列{xn},如果存在常数a，对 于任意给定的正数￡（无论它多小），总存在正整 数N,使得对于n>N的一切xn,不等式xn-a< 都成立，则称常数a为数列{x}的极限，或者称数 列{xn}收敛，且收敛于a,记作mxn=a，或 n->oo xn→an→o). 如果不存在这样的常数a，则称数列{xn}没有 极限，或称数列{xn}发散，习惯上也称limx不 n-co 存在
定义１ 设有数列 ，如果存在常数 ，对 于任意给定的正数 （无论它多小），总存在正整 数 ，使得对于 的一切 ，不等式 都成立，则称常数 为数列 的极限，或者称数 列 收敛 ，且收敛于 ，记作 ，或 ． xn a N n N n x x − a n xn a xn a xn a n = → lim x → a(n → ) n 如果不存在这样的常数 ，则称数列 没有 极限，或称数列 发散，习惯上也称 不 存在. xn xn lim n n x → a
数列极限的E-N定义 s>0,正数N,当n>N时，总有xn-a<6 则称该数列{xn}的极限为a,记作 lim=a或xn→a(n→o) n->oo a-￡<xn<a+E 此时也称数列收敛，否则称数列发散 (n>N) 几何解释： 即xn∈U(a,e) (n>N) 0● a-ExN+a xN+2 atE
当 n > N 时, 总有 记作 此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 . 几何解释 : a − a + ( ) a − x a + n (n N ) 即 x U (a, ) n (n N ) xn a n = → lim 或 x → a (n → ) n N+1 x N+2 x 则称该数列 的极限为 a , 数列极限的 −N 定义